ما هو الفرق بين الانحدار الخطي باستخدام متغير واحد والفرق بين الانحدار الخطي باستخدام أكثر من متغير ؟

بالنسبة للإنحدار الخطي باستخدام متغير واحد يعتمد على علاقة بين متغير مستقل واحد ومتغير تابع، و في هذا النوع الهدف هو إيجاد معادلة خطية تمثل هذه العلاقة، حيث يكون شكل المعادلة هو y=mx+cy = mx + c، حيث mm هو الميل وcc هو التقاطع، و يستخدم هذا النموذج في الحالات التي يكون فيها المتغير المستقل كافياً للتنبؤ بالمتغير التابع.

أما الانحدار الخطي باستخدام أكثر من متغير ، فيأخذ في الاعتبار أكثر من متغير مستقل للتنبؤ بالمتغير التابع، و تكون المعادلة الخطية في هذه الحالة على الشكل:

y=b0+b1x1+b2x2+⋯+bnxn

، حيث يمثل كل xix_i متغير مستقل، وbib_i هي المعاملات المرتبطة بهذه المتغيرات، و يتميز هذا النموذج بقدرته على التعامل مع بيانات أكثر تعقيدا، حيث يمكنه تفسير التأثير المشترك لمجموعة من العوامل على المتغير التابع.

الانحدار الخطي باستخدام متغير واحد (الانحدار الخطي البسيط) يقوم بتحديد علاقة خطية بين متغير مستقل واحد (X) ومتغير تابع (Y).  و يستخدم الانحدار الخطي البسيط لتحليل العلاقة بين متغيرين فقط وهذه هي المعادلة الخاصة به:

Y = β0 + β1X

حيث Y هو المتغير التابع و X هو المتغير المستقل و β0 هو معامل الانحدار و β1 همعدل التغيير في Y بالنسبة لتغيير X.

أما بالنسبة إلى الانحدار الخطي باستخدام أكثر من متغير (الانحدار الخطي المتعدد) يقوم بتحديد علاقة خطية بين عدة متغيرات مستقلة (X1  X2   ..... Xn) ومتغير تابع (Y) و يستخدم هذا الانحدار الخطي المتعدد لتحليل العلاقة بين عدة متغيرات وهذه هي المعادلة الخاصة به:

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn

حيث Y هو المتغير التابع و  (X1 X2  ..... Xn)  هي المتغيرات المستقلة و β0 هو معامل الانحدار و  ( β1 β2 ... βn ) هي معدلات التغيير في Y بالنسبة لتغيير كل متغير مستقل.

الفرق بين الانحدار الخطي باستخدام متغير واحد والانحدار الخطي باستخدام أكثر من متغير يكمن في عدد المتغيرات المستقلة المستخدمة للتنبؤ بالمتغير التابع. في الانحدار الخطي البسيط، يتم استخدام متغير مستقل واحد فقط لتوقع المتغير التابع، ويكون النموذج بسيطًا لتحليل العلاقة بين متغيرين فقط والصيغة هي:

y = b0 + b1 * x

حيث x هو المتغير المستقل، وy هو المتغير التابع، وb0 هو التقاطع، وb1 هو الميل يناسب هذا النموذج العلاقات بين متغيرين فقط.

أما في الانحدار الخطي المتعدد، فيشمل النموذج عدة متغيرات مستقلة، ويكون النموذج أكثر تعقيدا لتحليل البيانات متعددة الأبعاد والصيغة هي:

y = b0 + b1 * x1 + b2 * x2 + ... + bn * xn

حيث x1, x2, ..., xn هي المتغيرات المستقلة، وb1, b2, ..., bn هي المعاملات التي توضح تأثير كل متغير مستقل على المتغير التابع. يستخدم الانحدار الخطي البسيط للعلاقات البسيطة بين متغيرين، بينما يستخدم الانحدار المتعدد للعلاقات الأكثر تعقيدا التي تشمل عدة متغيرات.

y = b0 + b1 * x1 + b2 * x2 + ... + bn * xn 
في الانحدار الخطي المستقيم باستخدام متغير واحد  y = b0 + b1 * x  يكون لb0 هو الثابت أو ال Intercept ويكون b1 هو الميل أو slope في المعادلة الانحدار الخطي باستخدام أكثر من متغير لا أفهم ماذا يعني b1, b2 , bn هل هو يعني أن أكثر من ميل وهل ينفع أن يكون في المعادلة أكثر من ميل لأن هكذا سيكون أكثر من خط ونحن نحتاج أن نحسب the best fit line ؟ 

الانحدار الخطي هو تقنية إحصائية تستخدم لنمذجة العلاقة بين المتغيرات فهناك نوعان رئيسيان من الانحدار الخطي الأول الانحدار الخطي البسيط (باستخدام متغير واحد) والانحدار الخطي المتعدد (باستخدام أكثر من متغير) واختيار أي نوع من الانحدار يعتمد على طبيعة البيانات والعلاقة بين المتغيرات بالنسبة للنوع الأول المشكلة لنقل أننا نريد دراسة العلاقة بين عدد ساعات الدراسة (التي سنرمز لها بـ X) ودرجات الامتحان (التي سنرمز لها بـ Y) كالتالي:

ساعات الدراسة (X)	درجات الامتحان (Y)
  1	                     50
  2	                     60
  3	                     70
  4	                     80
  5	                     90

يمكننا استخدام المعادلة التالية:

Y=β0+β1X

وبعد تحليل البيانات، لنفترض أن النتائج هي:

Y=50+10X

ولنفسر النتيجة فإن:

β0=50

وهذا يعني أنه إذا لم يدرس الطالب (0 ساعات)، ستكون درجته 50.

β1=10

هذا يعني أن كل ساعة دراسة إضافية تزيد من الدرجة بمقدار 10 درجات.

وبالنسبة للاختيار المتعدد دعنا نضيف متغيرا آخر، وهو عدد الساعات التي يقضيها الطالب في النوم لنرمز له بـ Z ونريد دراسة تأثيرها أيضا على درجات الامتحان كالتالي:

ساعات الدراسة (X)	ساعات النوم (Z)	درجات الامتحان (Y)
1	                      6	               50
2	                      5	               60
3	                      8	               70
4	                      7	               80
5	                      8	               90

وهنا يمكننا استخدام المعادلة التالية:

Y=β0+β1X+β2Z

بعد تحليل البيانات، لنفترض أن النتائج هي:

Y=40+8X+5Z

أي أنه:

• β0=40: إذا لم يدرس الطالب (0 ساعات) ولم ينم، ستكون درجته 40.
• β1=8: كل ساعة دراسة إضافية تزيد من الدرجة بمقدار 8 درجات.
• β2=5: كل ساعة نوم إضافية تزيد من الدرجة بمقدار 5 درجات.

بالنسبة لسؤالك الجديد في الانحدار الخطي المتعدد، يمثل:

b1,b2,…,bn

تأثيرات المتغيرات المستقلة المختلفة على المتغير التابع Y  وكل

𝑏𝑖 (حيث 𝑖 هو رقم المتغير) 

يعكس مقدار تغير Y عند زيادة xi بوحدة واحدة، مع ثبات بقية المتغيرات رغم وجود عدة معاملات (ميول)، فإن النموذج يمثل علاقة واحدة بين المتغيرات المستقلة وY، ويستخدم لتحديد أفضل خط (أو سطح) ملائم يحقق أفضل تطابق بين القيم المتوقعة والملاحظة.

فهمت أن هو عندما تتغير Xi بوحدة واحدة تتغير bi بوحدة واحدة أيضا هل هذا هو المقصود ؟  بالنسبة للانحدار الخطي باستخدام متغير واحد فهو مفهوم أن تأثير متغير واحد يأثر في قيمة Y وبالنسبة للانحدار الخطي باستخدام أكثر من متغير فهو أيضا بالنسبة لكل متغير تابع يأثر في المتغير المستقل مثل سعر المنزل مثلا فيأثر فيه المكان وحجم المنزل أنا أفهم هذا الجزء الذي لا أفهمه هو جزء ال bi ؟ 
وشكرا