مشكلة البائع المتجول (TSP) ولماذا تعتبر غير قابلة للحل حتى الآن؟

مشكلة "Travelling Salesman Problem" أو (مشكلة البائع المتجول) هي إحدى أشهر المشكلات في عالم البرمجة وعلوم الحاسوب، فهي تمثل مشكلة تحديد أقصر مسار يمر عبر مجموعة من النقاط (مثل المدن أو العقد) مرة واحدة وثم العودة إلى النقطة الأصلية، هذه المشكلة تندرج ضمن مجال الرياضيات وعلم الحاسوب، وهي مشكلة معروفة في الأمثلة التجارية والصناعية أيضا.

للإجابة عن تساؤلك، يمكنني أن أقول بأن المشكلة معروفة بصعوبتها في إيجاد الحل الأمثل بسبب طبيعتها التصاعدية، حيث تزداد صعوبة حساب الحل بزيادة عدد النقاط. على سبيل المثال، عندما يكون هناك عدد صغير من النقاط، فإنه من الممكن حساب كل الطرق المحتملة واختيار الأمثل. ولكن مع زيادة عدد النقاط، يصبح عدد الطرق الممكنة كبيرا، وبالتالي يصبح من الصعب بشكل كبير حساب الحل الأمثل في وقت معقول.

من الجدير بالذكر أنه لا يوجد حتى الآن خوارزمية فعالة تعطي الحل الأمثل للمشكلة في زمن معقول بغض النظر عن عدد النقاط  لهذا يتم التركيز على تطوير خوارزميات تقريبية تقدم حلول جيدة بالقرب من الحل الأمثل دون الحاجة إلى استكشاف كل الطرق المحتملة.

أعتقد أنني أجبت عن استفسارك.

بتاريخ 1 دقيقة مضت قال ياسر مسكين:

مشكلة "Travelling Salesman Problem" أو (مشكلة البائع المتجول) هي إحدى أشهر المشكلات في عالم البرمجة وعلوم الحاسوب، فهي تمثل مشكلة تحديد أقصر مسار يمر عبر مجموعة من النقاط (مثل المدن أو العقد) مرة واحدة وثم العودة إلى النقطة الأصلية، هذه المشكلة تندرج ضمن مجال الرياضيات وعلم الحاسوب، وهي مشكلة معروفة في الأمثلة التجارية والصناعية أيضا.

للإجابة عن تساؤلك، يمكنني أن أقول بأن المشكلة معروفة بصعوبتها في إيجاد الحل الأمثل بسبب طبيعتها التصاعدية، حيث تزداد صعوبة حساب الحل بزيادة عدد النقاط. على سبيل المثال، عندما يكون هناك عدد صغير من النقاط، فإنه من الممكن حساب كل الطرق المحتملة واختيار الأمثل. ولكن مع زيادة عدد النقاط، يصبح عدد الطرق الممكنة كبيرا، وبالتالي يصبح من الصعب بشكل كبير حساب الحل الأمثل في وقت معقول.

من الجدير بالذكر أنه لا يوجد حتى الآن خوارزمية فعالة تعطي الحل الأمثل للمشكلة في زمن معقول بغض النظر عن عدد النقاط  لهذا يتم التركيز على تطوير خوارزميات تقريبية تقدم حلول جيدة بالقرب من الحل الأمثل دون الحاجة إلى استكشاف كل الطرق المحتملة.

أعتقد أنني أجبت عن استفسارك.

تمام , شكراا جدا

وعليكم السلام

في نظرية المخططات ونظرية التعقيد التحسيبي، تُعرف مسألة مندوب المبيعات المسافر أو مشكلة التاجر الرحالة  Travelling salesman problem

يريد تاجر أن يقوم بجولة كاملة يزور خلالها مدنا حيث يمر بكل المدن مرة واحدة و وحيدة ثم يعود إلى مدينة الانطلاق. المشكلة هي ما هو أقصر طريق؟؟

رغم أن صيغة المشكلة تبدو بسيطة, إلا أن الحل صعب جدا, فكلما زاد عدد المدن زادت صعوبة المشكل: يحتاج الحاسوب إلى حوالي قرنين من الزمن لإيجاد أقصر مسار يمر على 35 مدينة

فهذه المشاكل تصنف ضمن المشاكل الصعبة، و بعبارة أكثر دقة: المشاكل الحدودية غير المحددة الكاملة NP-complet.
والي هذا الوقت  ليس هناك  خوارزمية تحلها بسرعة ودقة مطلوبة
المقصود بالخوارزمية هي مجموعة خطوات رياضية منطقية ومتسلسلة لازمة لحل مشكلة ما وسميت خوارزمية نسبة للعالم محمد بن موسى الخوارزمي وبالتالي اذا حسبنا كم عدد الترتيبات او المحاولات لزيارة 35 مدينة بحيث نختار اقصر طريق من جميع هذه المحاولات او الطرق المحتملة سنجدها تساوي تقريبا 10 اس 40 (10^40) بمعنى 10 دودشيليون محاولة او طريقة وهذا يعني نحتاج الى اكثر من الف عام للوصول الى الحل الذي هو اقصر طريق وبالتالي اطلق على هذه المسألة انها NP-complet

بتاريخ 3 دقائق مضت قال Mahmoud Hassan19:

رغم أن صيغة المشكلة تبدو بسيطة

اه بظبط والله ان افتكرت كده

تمام , شكراا جدا لحضرتك

فكر بالمشكلة على أنها كـمخطط حيث تُمثل المدن العقد، وتُمثل المسافات بين المدن الأوزان على الحواف، والهدف هو إيجاد دورة هاميلتونية (Hamiltonian Cycle) في المخطط، وهي دورة تمر عبر جميع العقد مرة واحدة فقط وتنتهي في نفس العقدة التي بدأت منها.

وتعتبر مشكلة البائع المتجول من المشكلات NP-hard وتعني الصفة أنّه لا توجد خوارزمية معروفة يمكنها حل المشكلة بكفاءة في جميع الحالات أي بعبارة أخرى، مع ازدياد عدد المدن، يزداد الوقت الذي تستغرقه الخوارزمية لحل المشكلة بشكل كبير.

 مع عدد n من المدن، هناك n! (n factorial) طريقة مختلفة لترتيب زيارة المدن، أي أن عدد الحلول الممكنة ينمو بشكل سريع للغاية مع ازدياد عدد المدن.

على الرغم من صعوبة حلها بشكل دقيق في جميع الحالات، إلا أن هناك بعض الخوارزميات التي يمكنها إيجاد حلول تقريبية جيدة.

مثل خوارزمية القوة الغاشمة، وهي بسيطة للغاية، ولكنها بطيئة للغاية أيضًا، حيث تقوم بتجربة جميع الحلول الممكنة واختيار أفضلها.

ومع ازدياد عدد المدن، يزداد عدد الحلول الممكنة بشكل كبير، مما يجعل الخوارزمية غير عملية.

وهناك خوارزمية أقرب جار وتعتبر أكثر كفاءة من خوارزمية القوة الغاشمة، وتبدأ الخوارزمية من مدينة ما، ثم تختار في كل خطوة المدينة الأقرب إلى المدينة الحالية، وتستمر حتى يتم زيارة جميع المدن، لكن لا تضمن إيجاد أفضل حل ممكن، ولكنها توفر حلولًا جيدة في وقت معقول.

لدينا أيضًا خوارزمية الخوارزميات الوراثية، والتي تحاكي عملية التطور البيولوجي، أي تبدأ بمجموعة من الحلول العشوائية، ثم تقوم بـ "تربية"  الحلول لإنشاء حلول جديدة، وتستمر العملية حتى يتم العثور على حل جيد، وهي من أفضل الخوارزميات لحل مشكلة البائع المتجول، ولكنها تتطلب وقتًا طويلًا لحل المشكلات المعقدة.

بالإضافة إلى خوارزمية الفرع والربط، والتي  تقسم المشكلة إلى مشاكل فرعية أصغر، ثم حل كل مشكلة فرعية بشكل منفصل، ثم يتم دمج الحلول الفرعية للحصول على حل للمشكلة الأصلية، وهي أكثر كفاءة من خوارزمية القوة الغاشمة، ولكنها لا تضمن إيجاد أفضل حل ممكن.

ولا يوجد حل نهائي لمشكلة البائع المتجول حتى باستخدام الحوسبة الكمومية وليس أجهزة الكمبيوتر التقليلدية حتى الآن.

فعلى الرغم من أن الحوسبة الكمومية تُظهر إمكانات كبيرة لحل مشكلة البائع المتجول بشكل أكثر كفاءة من أجهزة الكمبيوتر الكلاسيكية، إلا أن هناك العديد من التحديات التي يجب التغلب عليها قبل أن تصبح هذه التقنية قابلة للتطبيق بشكل عملي.