البحث في الموقع

يناقش هذا المقال خاصيةً مهمةً أخرى للشعاع وهي خاصية الاتجاه، إذ ناقشنا في المقال السابق خاصية الطول، حيث تعرّف هاتان الخاصيتان الشعاع. سنوضّح في هذا المقال المواضيع التالية: المنحى Orientation أو اتجاه الحركة للأشعة ثنائية الأبعاد (مُمثَّلة في إطار إحداثي معين). الغموض عند استخدام قوس الظل arc tan لحساب الزاوية. تحويل الطول والمنحى إلى مكونات مصفوفة عمودية. قياس الزوايا بوحدتي الراديان Radian والدرجة المئوية. استخدام لغتي البرمجة سي C وجافا Java مع قوس الظل. الأشعة المحاذية للمحورين X-Y ما هو اتجاه الشعاع الذي تمثله المصفوفة العمودية ‎(4, 0)T‎؟ يوازي هذا الشعاع المحور X لإطار الإحداثيات الذي نستخدمه، وسيكون هذا الشعاع غالبًا أفقيًا ويؤشّر إلى اليمين (أو يمكن القول أن الشعاع له منحى مقداره 0 درجة). للشعاع ثنائي الأبعاد الذي يحاذي محور الإحداثيات -كما هو الحال مع ‎(4, 0)T‎- منحًى يسهل رؤيته، ويكون عند 0 درجة أو 90 درجة أو 180 درجة أو 270 درجة. يُعبَّر عن منحى الشعاع عادةً من خلال زاوية مع المحور x الموجب لإطار الإحداثيات، وهناك طريقتان لذلك: تُقاس الزاوية من 0 إلى 360 درجة بعكس اتجاه دوران عقارب الساعة ابتداءً من المحور x الموجب. تُقاس الزاوية من 0 إلى ‎+180 درجة بعكس اتجاه دوران عقارب الساعة, ابتداءً من المحور x الموجب، أو تُقاس من 0 إلى ‎-180 درجة مع اتجاه دوران عقارب الساعة ابتداءً من المحور x الموجب. حساب زاوية الشعاع عن المحور X ما هو اتجاه الشعاع a في المخطط البياني السابق؟ يكون منحى الشعاع a = (4, 4)T‎ بزاوية مقدارها 45 درجة. يجب أن تعطي الرياضيات الإجابة نفسها، إذ يُقدَّر ميل Slope الشعاع a بما يلي: (التغير في قيمة x)/(التغير في قيمة y)‫ = 4.0/4.0 = 1.0 بالتالي تكون الزاوية باستخدام قوس الظل هي: 45‎ = arc tan( 1.0 )‎ درجة. ليس للأشعة موقع، لذا لا يعتمد الطول ولا الاتجاه على المكان الذي ترسم فيه الشعاع، وتكون صيغة اتجاه الشعاع ثنائي الأبعاد هي: angle of (x, y)T = arc tan( y/x ) وللتأكيد يعني استخدام قوس الظل لقيمةٍ ما arc tan( z )‎ أنه تم العثور على الزاوية التي لها ظل tangent مقداره z، وتذكّر -عند حسابها باستخدام الآلة الحاسبة- أن الإجابة يمكن أن تكون بالراديان أو بالدرجات، إذ تمنحك معظم الآلات الحاسبة خيار استخدام أيّ من هذين التنسيقين. وبما أن الآلات الحاسبة تعطي عادةً الإجابة محصورةً بين ‎-90.0 و ‎+90.0 درجة (أو بين ‎-pi و ‎+pi راديان)، فقد تضطر إلى تعديل الإجابة (سنوضح ذلك لاحقًا). يمكنك أيضًا استخدام الآلة الحاسبة على حاسوبك، فإذا كنت تستخدم نظام التشغيل ويندوز، فانقر على الخيار "علمي Scientific" في قائمة "العرض View" للآلة الحاسبة التي تحتوي على قوس الظل arc tan الذي يمكن أن يكون له تسمية هي tan-1‎. ما هو منحى الشعاع الذي تمثله المصفوفة العمودية: ‎k = (3,4)T‎ (باستخدام الآلة الحاسبة)؟ ‪arc tan( y/x ) = arc tan( 4/3 ) = arc tan( 1.333333333333 ) = 53.13 درجة التعامل مع القيم السالبة يوضح المخطط البياني السابق الشعاع الذي تمثله المصفوفة العمودية: ‎k = (3,4)T‎، والذي حسبنا منحاه ليكون 53.13 درجةً عن محور x الموجب، وبالتالي يبدو كل شيء صحيحًا. لنحسب الآن منحى الشعاع ‎-k = (-3,-4)T‎ من خلال استخدام الصيغة التالية: ‪arc tan( y/x ) = arc tan( -4/-3 ) = arc tan( 4/3 ) = arc tan( 1.333333333333 ) = 53.13 درجة لاحظ وجود خطأ، إذ أعطتنا هذه الصيغة الزاوية نفسها للشعاع الذي يؤشّر إلى الاتجاه المعاكس لاتجاه الشعاع الأول. تكمن المشكلة في فقدان المعلومات عند قسمة ‎-4 على ‎-3، إذ لا يمكننا تفريق هذه النتيجة عن نتيجة قسمة ‎+4 على ‎+3، وبالتالي هذه الصيغة ليست كافيةً لتعطيك الإجابة الصحيحة، ويجب عليك رسم الشعاع ثم تعديل الإجابة. لاحظ من المخطط البياني أن منحى الشعاع ‎-k الذي يُعبَّر عنه بالدرجات من 0 إلى 360 بعكس اتجاه عقارب الساعة عن المحور x هو (180 + 53.13) = 233.13 درجة. ما هو منحى الشعاع الذي تمثله المصفوفة العمودية: ‎ p = (3,-4)T‎(استخدم تطبيق الآلة الحاسبة الموجود على حاسوبك)؟ ضع الأعداد في حاسبة ويندوز كما يلي: ‪arc tan( y/x ) = arc tan( -4/3 ) = arc tan( -1.333333333333 ) = -53.13 درجة يبدو الحساب صحيحًا في المخطط البياني السابق، وإذا أردتَ التعبير عن الزاوية بعكس اتجاه دوران عقارب الساعة، فهي 360 - 53.130 = 306.870 درجة، ولكن سيعطيك الشعاع ‎-p النتيجة نفسها للأسف، لذا ارسم دائمًا الشعاع عندما تحسب منحاه، بعدها يمكنك أن ترى أن الزاوية التي تريدها للشعاع ‎-p هي 180 - 53.130 = 126.87 درجة. تتوفر الدالة atan2(y, x)‎ في معظم لغات البرمجة، إذ تحسب هذه الدالة الزاوية بالراديان بين المحور x الموجب والنقطة المعطاة بالإحداثيات (x, y)، وتستخدِم إشارتَي x و y لتحديد الربع الصحيح للزاوية. ما هو منحى الشعاع ‎u = (-4,-2)T‎ ؟ (ارسم الشعاع أولًا، ثم استخدم الآلة الحاسبة)؟ عوّض القيم في الصيغة واستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد الناتج: ‪arc tan( y/x ) = arc tan( -2/-4 ) = arc tan( 0.5 ) = 26.565 درجة ولكن سترى عند رسم الشعاع أنه يقع في الربع الخطأ، لذا يجب أن تكون الإجابة 180 + 26.565 = 206.565 درجة. حساب السمتين (x, y) الخاصتين بالشعاع لنفترض أنك تعلم أن الشعاع يمكن تمثيله بمصفوفة عمودية ‎(x, y)T‎ باستخدام إطار إحداثي معين، ويمكن حساب هاتين السمتين x و y كما يلي: ‪orientation of (x, y)T = arc tan( y/x ) ‪|(x, y)T| = √( x2 + y2 ) ارسم الشعاع r الذي تمثله المصفوفة العمودية ‎(4, 5)T‎، ثم قدّر طوله واتجاهه، وأجرِ العمليات الحسابية للحصول على الإجابة الدقيقة كما يلي: الطول: ‪| r | = | (4,5)T | = √(16+25) = 6.40 الاتجاه: ‪direction = arc tan{ 5/4 } = 51.34 درجة تحويل الطول والاتجاه إلى السمتين (x, y) لنفترض أن لديك طول واتجاه وتريد التعبير عنهما بشعاع عمودي ثنائي الأبعاد، يمكنك فعل ذلك باتباع الخطوات التالية: أنشئ مخططًا بيانيًا. احسب قيمة x من خلال إسقاط الطول على المحور x باستخدام length*cos( θ )‎. احسب قيمة y من خلال إسقاط الطول على المحور y باستخدام length*sin( θ )‎. تحقق من الإجابات وفق المخطط البياني. لنفترض أن لدينا شعاعًا طوله 4 ومنحاه بزاويةٍ مقدارها 150 درجة. إذًا ما هي المصفوفة العمودية التي تمثّل هذا الشعاع؟ سنمثّل هذا الشعاع بالمصفوفة العمودية ثنائية الأبعاد ‎( -3.464, 2.0 )T‎ . حساب الزوايا بالراديان اتبع الخطوات التالية في هذا الحساب: أنشئ مخططًا بيانيًا كما يلي: احسب قيمة x من خلال إسقاط الطول على المحور x كما يلي: ‪4 * cos( 150 ) = -3.464 احسب قيمة y من خلال إسقاط الطول على المحور y كما يلي: ‪4 * sin( 150 ) = 2.0 تحقق من الإجابات وفق المخطط البياني (تبدو جيدة). كن حذرًا بشأن استخدام هذه الصيغ وتوقّع الإجابات الصحيحة، خاصةً عند البرمجة بلغة سي أو جافا، إذ يمكن للمكتبات الرياضية الخاصة بلغة البرمجة أن تعطي أشياءً غير متوقعة إن لم تكن حذرًا، ولكن توجد ثلاثة أماكن يجب توخي الحذر فيها بصورة خاصة وهي: من المتوقع أن يكون وسيط sin()‎ و cos()‎ و tan()‎ بالراديان، والقيمة التي تعيدها atan()‎ بالراديان. من المتوقع أن يكون وسيط معظم الدوال الرياضية من النوع double، ولكن إذا استخدمتَ عددًا عشريًا float أو عددًا صحيحًا int، فلن تحصل على رسالة خطأ، بل مجرد إجابة غريبة غير صحيحة. توجد عدة إصدارات من دالة "arc tan" في معظم مكتبات لغة سي، وكلٌ منها مخصَّص لمجال مختلف من قيم الخرج. يُعبَّر عن الزوايا عادةً بالراديان، وتُقاس الزوايا بعكس اتجاه عقارب الساعة ابتداءً من المحور x الموجب (أو تُقاس الزاوية السالبة باتجاه عقارب الساعة ابتداءً من المحور x الموجب أحيانًا)، إذ يوجد ما مقداره 2‎ pi راديان في الدائرة الكاملة، أي أن: (‎(2 pi راديان = 360 درجة لنفترض أن لدينا شعاعًا له طول length وزاوية angle! أوجد في هذه الحالة قيمة vector[0]‎ التي تمثل المركّبة x، وأوجد قيمة vector[1]‎ التي تمثّل المركّبة y الخاصة بهذا الشعاع. #include <math.h> double length, angle; /* طول وزاوية الشعاع */ double vector[2]; /* عناصر الشعاع */ . . . length = قيمةٌ ما angle = عددٌ ما بالدرجات vector[0] = ???? vector[1] = ???? لنفترض أن رمز pi هو M_PI، ولكن لسوء الحظ تستخدم المصرّفات Compilers المختلفة رموز PI مختلفة وتعرّفها في ترويسات ملفات مختلفة، لذا يجب أن تستخدم الرمز المناسب لنظام تشغيلك بدلًا من تعريف PI بنفسك. ملاحظة: إذا لم تكن على دراية بلغة سي، فيمكنك عَدّ هذه الشيفرة بأنها مكتوبة بلغة جافا. #include <math.h> double length, angle; double vector[2]; . . . length = قيمةٌ ما angle = عددٌ ما بالدرجات vector[0] = length * cos( angle*M_PI/180.0 ) vector[1] = length * sin( angle*M_PI/180.0 ) تدريب عملي تذكّر أولًا الخطوات التي يجب اتخاذها لتحويل الشعاع المعلوم طوله واتجاهه إلى (x,y): أنشئ مخططًا بيانيًا. احسب قيمة x من خلال إسقاط الطول على المحور x باستخدام length*cos( θ )‎. احسب قيمة y من خلال إسقاط الطول على المحور y باستخدام length*sin( θ )‎. 4: تحقق من الإجابات وفق المخطط البياني. وتبقى الخطوات نفسها إذا كانت الزاوية مُعطاةً بالراديان. تدريب 1: ليكن لدينا شعاع طوله 4.5 (بأيّ وحدة طول) وزاوية منحاه 0.70 راديان، ولنعبّر عن هذا الشعاع بالصيغة ‎( x, y )T‎ كما يلي: أنشئ مخططًا بيانيًا كما يلي: احسب قيمة x من خلال إسقاط الطول على المحور x كما يلي: ‪4.5*cos( 0.70 ) = 3.442 احسب قيمة y بإسقاط الطول على المحور y كما يلي: ‪4.5*sin( 0.70 ) = 2.899 تحقق من الإجابات وفق المخطط البياني. تدريب 2: لنفترض أن الدعسوقة ليلى أضاعت صديقتها سلوى، ولكن كان مع ليلى هاتف محمول لحسن الحظ وكان: موقع ليلى عند النقطة ‎(1, -4)‎. موقع سلوى عند النقطة ‎( -4, 3)‎. اتصل بليلى وأخبرها في أيّ اتجاه وإلى أيّ مسافة يجب أن تمشي للوصول إلى صديقتها سلوى. الحل: الاتجاه = 125.54 درجة، والمسافة = 8.60. كان عليك أن تتذكر كيفية حساب الإزاحة للحصول على الإجابة، إذ يمكنك حساب شعاع الإزاحة بين نقطتين (أو بين الدعسوقتين) كما يلي: (المكان الذي تريد أن تكون فيه) - (مكانك الحالي) = (الإزاحة التي تحتاجها) إذًا الإزاحة التي يجب أن تمشيها ليلى هي: ‪( -4, 3) - (1, -4) = (-5, 7) ولكن تحتاج ليلى إلى مسافة وجهة هما: المسافة: ‎√(25 + 49) = 8.60 الاتجاه: ‪arc tan( 7/-5 ) = arc tan( -1.4 ) = -54.46 درجة نعدّل الاتجاه بالنظر إلى المخطط البياني ويصبح الاتجاه هو: 180 - 54.46 = 125.54 درجة هل يمكن تطبيق الأفكار المتعلقة بمنحى الشعاع ثنائي الأبعاد الواردة في هذا المقال في الفضاء ثلاثي الأبعاد؟ نعم، ولكن ليس بهذه السهولة، إذ سيتطلب منحى الأشعة ثلاثية الأبعاد مزيدًا من العمل. وصلنا إلى نهاية هذا المقال الذي تعرّفنا فيه على خاصية الاتجاه الخاصة بالشعاع، وسنناقش في المقال التالي حاصل ضرب شعاع وقيمة عددية. ترجمة -وبتصرُّف- للفصل Vector Direction من كتاب Vector Math for 3D Computer Graphics لصاحبه Bradley Kjell. اقرأ أيضًا المقال السابق تعرف على خاصية الطول Length للأشعة الهندسية وكيفية حسابه. المعاملات (parameters) في جافا. الأنواع الحقيقية والصحيحة في لغة سي C.

يناقش هذا المقال طول Length الأشعة وكيفية حساب هذا الطول باستخدام تمثيل المصفوفة العمودية للأشعة، وسنناقش في المقال التالي خاصيةً أخرى للأشعة، وهي خاصية الاتجاه Direction؛ إذ للأشعة بجميع أبعادها خاصيتان هما: الطول والاتجاه، ولكن سنستخدم أشعة في فضاء ثنائي الأبعاد للسهولة. سنوضّح في هذا المقال المواضيع التالية: طول الأشعة ثنائية وثلاثية الأبعاد. صيغة فيثاغورس. حساب طول الشعاع من خلال تمثيله بالمصفوفة العمودية. طول الشعاع الصفري. طول الشعاع السالب. الأشعة المحاذية للمحورين X-Y ما هو طول الشعاع التالي الذي تمثله المصفوفة العمودية ‎(3, 0)T‎؟ يمكن القول أن الطول يساوي 3 وحدات. إذا كان هناك شعاع ثنائي الأبعاد يحاذي المحور x، فإن المصفوفة العمودية التي تمثله لها قيمة غير صفرية في العنصر الأول، وصفر في العنصر الثاني، إذ من السهل تحديد طول الشعاع الأخضر المُمثَّل بالمصفوفة العمودية ‎ (3, 0)T‎في المخطط البياني التالي، فالطول هو قيمة العنصر الوحيد غير الصفري في تلك المصفوفة. يحاذي الشعاع a (الشعاع الأزرق في المخطط البياني السابق) المحور y، ومصفوفته هي ‎(0, 4)T‎، فما هو طول الشعاع a؟ طوله 4 وحدات، إذ يمكن قراءته من المخطط البياني، ولكن ليس للشعاع موقع ثابت طبعًا، لذلك يمكن رسم الشعاع a في أيّ مكان وسيكون له الطول نفسه. صيغة فيثاغورس يوضح المخطط البياني التالي شعاعين بطول 3 و4 مع الشعاع الجديد h: من الصعب معرفة طول الشعاع h، ولكنه ليس صعبًا كثيرًا؛ خاصةً إذا كنت على معرفة بقاعدة "3، 4، 5 في المثلثات قائمة الزاوية"، إذ يمكن ترتيب الأشعة الثلاثة في مثلث قائم الزاوية، بحيث يكون h هو الوتر، والضلعان الآخران هما 3 و 4؛ وبالتالي فإن طول h يساوي 5 باستخدام صيغة فيثاغورس والتي هي: (طول الوتر)2 = (طول الضلع القائمة الأولى)2 + (طول الضلع القائمة الثانية)2 إذا استخدمنا صيغة فيثاغورس مع مثلث قائم الزاوية له ضلعان قائمان طولهما 3 و 4، فسنحصل على طول الوتر كما يلي: ‫(طول الوتر)2 ‫= ‫32 + ‪‫42 ‫ ‫(طول الوتر)2 ‫=‫ ‪‫9 +‫ 16 = 25 (طول الوتر) = 5 إذًا ما هو طول الوتر في المثلث القائم الزاوية الذي طول ضلعيه 6 و 8؟ وما طول الوتر في المثلث القائم الزاوية الذي طول ضلعيه القائمين 6 و 8؟ سنستخدم للحل صيغة فيثاغورس كما يلي: ‫الطول2 ‫= ‪ ‫62 + ‪‫62 ‫ ‫الطول2 ‫= ‪‫36 +‫ 64 = 100 الطول = 10 استخدام صيغة فيثاغورس لحساب طول الأشعة يمكن استخدام صيغة فيثاغورس لحساب طول الشعاع ثنائي الأبعاد. لنفترض أن الشعاع تمثّله المصفوفة العمودية ‎(x, y)T‎، لذا ضع ذيل الشعاع عند نقطة الأصل، ثم أنشئ مثلثًا من خلال رسم الضلعين الآخرين كما في المخطط البياني السابق: side_1 = (x, 0)T side_2 = (0, y)T طول الضلع الأول side_1 هو x، وطول الضلع الثاني side_2 هو y، وبالتالي ينتج لدينا أن الطول: length (x, y)T = √( xT + yT ) يمثّل الرمز √ الجذرَ التربيعي الموجب في هذه الصيغة، إذ لا نريد بالطبع أن يكون الطول سالبًا. ما طول الشعاع الذي تمثله المصفوفة العمودية ‎(4, 3)T‎؟ الطول يساوي 5.0، إذ يمكنك استخدام الصيغة السابقة، أو إدراك أنه مثلث قائم زاوية آخر أطول أضلاعه 3-4-5. الرمز المستخدم لطول الشعاع تعمل صيغة فيثاغورس مع الأشعة المحاذية للمحاور كما يلي: length of( (8,0)T ) = √( 8*8 + 0*0 ) = 8 لا يُعَد الاستمرار في قول "طول ( ) أو length of ( )‎" مناسبًا، لذا يوجد رمزٌ لذلك وهو: طول ‎| a | = ( a )‎ للرمز a شريطٌ عمودي من كل جانب، وتستخدم الكتب أحيانًا شريطين عموديين على كل جانب، وبالتالي تكون الصيغة كما يلي: ‪| (x, y)T | = √( x2 + y2 ) إذا كان ‎g = (1, 1)T‎، فما هو | g | ؟ نعوّض في الصيغة كما يلي: ‪| g | = √( 12 + 12 ) ‪= √2.0 ‪= 1.414213562373 لاحظ أن الطول ليس 1.0 ولا 2.0، وهذا خطأ يقع فيه بعض الأشخاص. إثبات متراجحة المثلث تذكّر أن طول مجموع شعاعين أقل من أو يساوي مجموع طولي هذين الشعاعين: طول ( v + u ) <= طول ( u ) + طول ( v ) وفي الصيغة الجديدة: | u + v | <= | u | + | v | لتكن لدينا الأشعة المُمثَّلة بالمصفوفات العمودية التالية: u = (3, 4)T v = (3, -4)T w = u + v = (6, 0)T يوضّح المخطط البياني التالي كيفية عمل متراجحة المثلث في هذا المثال، إذ يكون مجموع طولي الشعاعين الأحمر والأزرق أقل من طول الشعاع الأخضر. ولكن هل يمكن تطبيق ذلك عدديًا؟ وما هي قيمة كلٍّ من | u | و | v | و | w |؟ إجابة: ‎u = (3, 4)T‎ وبالتالي: ‎| u | = 5 ‎v = (3, -4)T‎ وبالتالي: ‎| v | = 5 ‎w = u + v = (6, 0)T‎ وبالتالي: ‎| w | = 6 طبعًا 6 < 5 + 5 مما يدل على أن: | u + v | <= | u | + | v | تدريب عملي لا تكون عناصر الشعاع عادةً قيمًا صحيحةً بسيطة، ولتكن لدينا مثلًا بعض الأشعة المُمثَّلة بمصفوفات عمودية تحتوي على كسور عشرية في عناصرها كما يلي: q = (2.2, 3.6)T r = (-4.8, -2.2)T s = q + r يمكن طبعًا استخدام صيغة فيثاغورس، ولكنك ستحتاج إلى آلة حاسبة لاستخدامها. ‪| (x, y)T | = √( x2 + y2 ) ما هي أطوال الأشعة q و r و s؟ ‪| q | = √( 2.22.2 + 3.63.6 ) = √( 4.84 + 12.96 ) = √ 17.8 = 4.219 ‪| r | = √( -4.8* -4.8 + -2.2 * -2.2 ) = √( 23.04 + 4.84 ) = √ 27.88 = 5.280 ‪| s | = √( -2.6 * -2.6 + 1.4*1.4 ) = √( 6.76 + 1.96 ) = √ 8.72 = 2.953 يكون | s | أصغر من | q | + | r | كما هو متوقع. حساب طول الأشعة ثلاثية الأبعاد تكون للأشعة ثلاثية الأبعاد خاصية الطول، ويمكن استخدام الصيغة فيثاغورس نفسها لحساب الطول، إذ يكون طول الشعاع الذي تمثله مصفوفة مكونة من ثلاثة مكونات هو: ‪| (x, y, z)T | = √( x2 + y2 + z2) كما في المثال التالي: ‪| (1, 2, 3)T | = √( 12 + 22 + 32 ) = √( 1 + 4 + 9 ) = √14 = 3.742 إذًا لنحسب طول ‎(2, -4, 4)T‎ و ‎(-1, -2, 3)T‎ كما يلي: ‪| (2, -4, 4)T | = √( 2 * 2 + -4 * -4 + 4 * 4) = √( 4+ 16 + 16 ) = √36 = 6 ‪| (-1, -2, 3)T | = √( -1 * -1 + -2 * -2 + 3 * 3) = √( 1 + 4 + 9 ) = √14 = 3.742 يعطي تربيع عناصر الشعاع ناتج جمع للقيم الموجبة (أو الصفرية)، مما يضمن أن يكون الطول قيمة موجبة (أو صفرًا). الأشعة الهندسية ضع في بالك أن الأشعة هي كائنات هندسية، أي يُعبَّر عنها بطولٍ واتجاه في الفضاء. تُمثَّل الأشعة بالمصفوفات العمودية، وتفترض صيغ حساب الطول في هذا المقال استخدام إطار إحداثي وأن الأشعة مُمثَّلة بمصفوفات عمودية ضمن هذا الإطار. يمكن أن يناقش أيّ كتابٍ خاص بالرسوميات الحاسوبية كيفية استخدام الإحداثيات المتجانسة Homogeneous Coordinates لتمثيل الأشعة، إذ تستخدم هذه الطريقة مصفوفات عمودية مكونة من 4 مكونات لتمثيل الأشعة في فضاء ثلاثي الأبعاد، ويتطلب حساب طول الشعاع المُمثَّل بهذه الطريقة تعديل الصيغ، مع تجاهل المكون الرابع للمصفوفة العمودية. لا تقلق بشأن هذه الطريقة حاليًا، إذ سنوضّح التفاصيل لاحقًا، وخذ الوقت الكافي لفهم فكرة أن المصفوفات العمودية التي نستخدمها ليست الطريقة الوحيدة لتمثيل الأشعة، وأن خاصية الطول هي خاصة بالشعاع، وليست خاصة بالمصفوفة العمودية التي تمثل هذا الشعاع، لذا قد تتساءل عن وجود أيّ أهمية لتمييز شيء ما عن تمثيله في علوم الحاسوب! حسنًا، نعم هناك أهمية طبعًا، ويُعَد ذلك من أهم الأفكار في علوم الحاسوب. ليكن لدينًا مثلًا المخطط البياني التالي الذي يحتوي شعاعًا وإطارين للإحداثيات هما: إطار رمادي فاتح وإطار برتقالي. نمثّل الشعاع بالمصفوفة العمودية ‎(8, 6)T‎ في الإطار الرمادي الفاتح، ونمثّله في الإطار البرتقالي بالمصفوفة العمودية ‎(9.8, 2)T‎، ولنفترض أن المحاور في كلا الإطارين مُدرَّجة باستخدام الوحدات نفسها (سم مثلًا). يكون طول الشعاع باستخدام التمثيل الأول هو: ‪√( 82 + 62 ) = √( 64 + 36 )= √( 100 )= 10.0 ويكون طول الشعاع باستخدام التمثيل الثاني هو: ‪√( 9.82 + 22 ) = √( 96 + 4 ) = √( 100 ) = 10.0 ولكن هل ستنجح العملية الحسابية إذا وضعنا ذيل الشعاع في مكان آخر من الإطار؟ نعم، فليس للشعاع موضع محدّد، لذلك يمكن وضع الذيل في أيّ مكان تريده. الطول قيمة موجبة أو صفرية بما أن مربع الطول يساوي مجموع المربعات، وينتج عن تربيع الأعداد الحقيقية قيمة صفرية أو موجبة، فهذا يعني أنه يجب أن يكون الطول دائمًا صفرًا أو عددًا موجبًا. ‪| a | = | (a1, a2, a3 )T | = √( a12 + a22 + a32 ) >= 0 يكون طول الشعاع ثلاثي الأبعاد صفرًا فقط عندما يكون هذا الشعاع هو الشعاع الصفري، إذ يُمثَّل الشعاع الصفري ثلاثي الأبعاد في جميع الإطارات الإحداثية كما يلي: ‪0 = (0, 0, 0)T ويكون طول الشعاع الصفري هو: ‪| 0 | = √( 02 + 02 + 02 ) = 0 يكون طول الشعاع الصفري ثنائي الأبعاد صفرًا أيضًا، وهو الشعاع ثنائي الأبعاد الوحيد الذي يكون طوله صفرًا. إذًا هل سيكون للشعاعين المتساويين الطول نفسه، وهل سيكون الشعاعان اللذان لهما الطول نفسه متساويين دائمًا؟ سيكون للشعاعين المتساويين الطول نفسه، إذ يجب أن تكون عناصرهما المتقابلة متساويةً، لذا يجب أن تكون عمليات التربيع المتقابلة متساوية أيضًا، وبالتالي يجب أن يكون المجموع متساويًا، ويجب أن يكون الطول متساويًا. لن يكون الشعاعان اللذان لهما الطول نفسه متساويين دائمًا، إذ يمكن أن يكون مجموع مربعات العناصر متساويًا دون أن تكون العناصر نفسها متساوية. طول الشعاع السالب إذا كان v شعاعًا، فإن ‎-v هو شعاع يؤشّر إلى الاتجاه المعاكس، وإذا كان تمثيل v هو ‎(a, b, c)T‎، فسيكون تمثيل ‎-v هو ‎(-a, -b, -c)T‎، فما هي العلاقة بين طول الشعاعين v وطول ‎-v؟ العلاقة هي: ‪| v | = |-v| الأشعة ذات الاتجاهات المتعاكسة يوضّح المخطط البياني التالي بيانيًا شعاعين باتجاهين متعاكسين في فضاء ثنائي الأبعاد: يمكنك تمثيل المخطط البياني السابق رياضيًا كما يلي: ‪| v | = |(a, b, c)T| = √( a2 + b2 + c2) ‪|-v | = |(-a, -b, -c)T| = √( -a2 + -b2 + -c2) = √( a2 + b2 + c2 ) يمكن القول أن الشعاعين لهما الطول نفسه، ولكنهما يؤشّران إلى اتجاهين متعاكسين كما سنوضّح في المقال التالي. يمكن حساب طول الشعاع الذي تمثله المصفوفة العمودية ‎(1, -1, 1 )T‎ كما يلي: ‪√( 12 + -12 + 12) = √3 ترجمة -وبتصرُّف- للفصل Vector Length من كتاب Vector Math for 3D Computer Graphics لصاحبه Bradley Kjell. اقرأ أيضًا المقال السابق: كيفية جمع الأشعة الهندسية للتصاميم ثلاثية الأبعاد كيفية جمع وطرح المصفوفات العمودية والمصفوفات السطرية الأشعة والنقاط والمصفوفات العمودية في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد التعرف على النقاط والخطوط في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد

تعرّفنا في المقال السابق على جمع المصفوفات العمودية الذي يُعَد إجراءً سهلًا، وسنوضّح في هذا المقال سبب كون هذا الإجراء مفيدًا من خلال مناقشة كيفية تمثيله لعملية جمع الأشعة. سنتعرّف في هذا المقال على المواضيع التالية: جمع الأشعة. جمع الأشعة باستخدام قاعدة الرأس إلى الذيل Head to Tail. قاعدة الرأس إلى الذيل في فضاء ثلاثي الأبعاد. الخاصية التجميعية Associative لجمع الأشعة. الخاصية التبديلية Commutative لجمع الأشعة. الإطارات الإحداثية Coordinate Frames. تمثيل النقاط الهندسية باستخدام إطارات الإحداثيات والمصفوفات العمودية. تمثيل الأشعة باستخدام المصفوفات العمودية. جمع الأشعة باستخدام المصفوفات العمودية. استخدام متوازي الأضلاع في عملية جمع الأشعة. متراجحة المثلث Triangle Inequality. الأشعة المرتبطة الخطية Collinear. جمع الأشعة الصفرية. عملية جمع شعاع ونقطة. تذكير: اجمع المصفوفتين العموديتين التاليتين: a = ( 3, 2 )T b = (-2, 1 )T والجواب هو: a + b = ( 1, 3 )T الأشعة في الفضاء ثنائي الأبعاد تُعَد الأشعة كائنات هندسية يمكن تمثيلها بطرق متعددة، ولكن يجب أن نفهم الفرق بين الكائن الهندسي (مثل النقطة أو الشعاع)، وطريقة تمثيله (باستخدام مصفوفة عمودية غالبًا). يوضّح المخطط البياني السابق النقاط A و B و C في فضاء ثنائي الأبعاد؛ حيث يُعبَّر عن الإزاحة Displacement بمسافة واتجاه، فالشعاع u هو الإزاحة من النقطة A إلى النقطة B، أما الشعاع v فهو الإزاحة من النقطة B إلى النقطة C. بينما يعبٌر الشعاع w عن الإزاحة من النقطة A إلى النقطة C؛ ويكون تأثير التحرك عبر الإزاحة u ثم عبر الإزاحة v هو تأثير التحرك عبر الإزاحة w نفسه وبالتالي يمكن القول أن: u + v = w عدم اعتمادية عملية جمع الأشعة على موضعها هل تعتمد عملية جمع الأشعة على مكان وجودها؟ لا، فليس للأشعة موضع محدّد. توضّح النقاط في المخطط البياني السابق كيفية حساب التأثير المشترك لإزاحتين من خلال جمعهما، ولكن لم يتضمّن جمعُ الإزاحات النقاط فعليًا، حيث يظهر جمع الأشعة عادةً كما في المخطط البياني السابق، الذي يوضح أن تأثير التحرك عبر الإزاحة u ثم التحرك عبر الإزاحة v هو تأثير التحرك عبر الإزاحة w نفسه. لنفترض مثلًا أنك ترغب في نقل جميع نقاط كائن هندسي عبر الإزاحة u، ثم عبر الإزاحة v. يمكنك تطبيق ذلك من خلال تحريك كل نقطة عبر الإزاحة w. قاعدة الرأس إلى الذيل Head-to-Tail جرب رسم الخط الذي يمثل مجموع الشعاعين s و t: والحل باستخدام قاعدة الرأس إلى الذيل هو: يمكن جمع الشعاعين v و u في المخطط البياني التالي من خلال تحريك الشعاع v مع الحفاظ على طوله ومنحاه Orientation حتى يلمس ذيلُ هذا الشعاع رأسَ الشعاع u، والناتج هو الشعاع المتشكّل من ذيل الشعاع u إلى رأس الشعاع v: اجمع الشعاعين e و d: والحل هو: يوضّح المخطط البياني السابق تحريك الشعاع e للأعلى حتى يلامس ذيله رأس الشعاع d، والناتج هو الشعاع المتشكّل من ذيل الشعاع d إلى رأس الشعاع e . جمع الأشعة في الفضاء ثلاثي الأبعاد يوضّح المخطط البياني التالي جمع الشعاعين a و b ثلاثيّي الأبعاد لتشكيل الشعاع c. وضعنا الصندوق ثلاثي الأبعاد للمساعدة على تصوّر الأبعاد الثلاثية، إذ تعمل قاعدة الرأس إلى الذيل في الفضاء ثلاثي الأبعاد أيضًا. تحدّد قاعدة الرأس إلى الذيل مثلثًا مُوجَّهًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد عند جمع شعاعين في فضاء ثلاثي الأبعاد. الخاصية التجميعية Associative لجمع الأشعة هل يمكن جمع ثلاثة أشعة مثل الأشعة a و b و d في المخطط البياني التالي؟ نعم يمكن ذلك، والنتيجة هي الإزاحة الإجمالية الناتجة عن اتباع كل شعاع بدوره. يوضّح المخطط البياني التالي نتيجة جمع ‎(a + b) + d = c + d‎، والنتيجة هي شعاع بطول واتجاه مماثل لقطر الشكل. يوضّح المخطط البياني التالي نتيجة جمع ‎a + (b + d)‎، والنتيجة هي نفسها، ويُعَد ذلك دليلًا على الخاصية التجميعية لجمع الأشعة: a + (b + c) = (a + b) + c يمكن تطبيق هذه القاعدة في جميع الأبعاد، إذ تكون الأشعة الهندسية للرسوميات الحاسوبية غالبًا ثنائية وثلاثية الأبعاد بالرغم من إمكانية وجود أبعاد أعلى بصورة عامة. تعني الخاصية التجميعية أنه يمكن كتابة مجموع عدة أشعة مثل: a + b + c + d + e بدون قوسين. الخاصية التبديلية Commutative لجمع الأشعة لنفترض أنك تمشي مسافة خمس بنايات شمالًا، ثم ثلاث بنايات شرقًا، ولكن إذا مشيت ثلاث بنايات شرقًا ثم خمس بنايات شمالًا، فهل ستصل إلى المكان نفسه؟ نعم، هذا صحيح. يُعَد جمع الأشعة عملية تبديلية مثل جمع الأعداد الحقيقية تمامًا: a + b = b + a إذا بدأت من النقطة P، فسينتهي بك الأمر في المكان نفسه بغض النظر عن الإزاحة (a أو b) التي ستأخذها أولًا. سينتج الشعاع c عن كلٍّ من عمليتي الجمع a + b و b + a عند تطبيق قاعدة الرأس إلى الذيل، ولكن هل يمكن تطبيق الخاصية التبديلية على جميع الأبعاد؟ نعم، يمكن ذلك. تمثيل النقاط باستخدام المصفوفات العمودية يمكن تمثيل النقاط باستخدام المصفوفات العمودية، ولكن يجب أولًا اتخاذ قرار بشأن الإطار الإحداثي Coordinate Frame الذي يُسمَّى أحيانًا بالإطار فقط. ويتكون الإطار الإحداثي من نقطة مميزة P0‎ تسمى نقطة الأصل Origin، ومن محور لكل بُعد يُسمَّى X و Y غالبًا، فهناك محوران في الفضاء ثنائي الأبعاد، وثلاثة محاور تُسمَّى X و Y و Z في الفضاء ثلاثي الأبعاد. لنبدأ بالفضاء ثنائي الأبعاد، حيث يُظهِر المخطط البياني الأيسر عالمًا افتراضيًا بسيطًا إلى حدٍ ما في فضاء ثنائي الأبعاد، إذ تكون النقاط والأشعة موجودةً في الفضاء بصورة مستقلة عن أيّ إطار إحداثي، بينما يوضّح المخطط البياني الأوسط العالم الافتراضي نفسه مع إطار إحداثي يتكون من نقطة معينة P0‎ ومحورين، وتُمثَّل النقطة A في هذا الإطار الإحداثي بالمصفوفة العمودية ‎(2, 2)T‎. يُظهر المخطط البياني الأيمن العالم الافتراضي نفسه مع إطار إحداثي مختلف، إذ تُمثَّل النقطة A في هذا الإطار الإحداثي بالمصفوفة العمودية ‎(2, 3)T‎. إذًا، كيف تُمثَّل النقطة B باستخدام الإطار الإحداثي الأول، وباستخدام الإطار الإحداثي الثاني؟ تُمثَّل النقطة B باستخدام الإطار الإحداثي الأول بالمصفوفة العمودية ‎(6, 2)T‎، وتُمثَّل باستخدام الإطار الإحداثي الثاني بالمصفوفة العمودية ‎(4.8, 1.6)T‎. تمثيل النقاط باستخدام إطارات إحداثية مختلفة الفكرة الأساسية -والمربكة في كثير من الأحيان- هي أنه يوجد في برنامج الرسوميات عالم افتراضي واحد، ولكن قد يكون هناك أيّ عددٍ من الإطارات الإحداثية قيد الاستخدام، إذ لكل كائنٍ إطاره الخاص غالبًا، بحيث يُستخدَم إطار مختلف لوصف مواقع الكائنات؛ ويمكن استخدام إطارٍ آخر لمجال الرؤية، ويُعَد ذلك شيئًا تفعله فعليًا طوال الوقت مع العالم الحقيقي، ولكنه يكون الجزء الصعب في معرفة كيفية العمل مع العالم الافتراضي. لنفترض أن لديك مزهريةً موضوعةً على طاولة مثلًا، وأنت تتحدث مع صديق عبر الهاتف وترغب في وصف المزهرية له ومكانها وكيف تبدو لك. يمكنك وصف المزهرية بأنها كرة مركزها نقطة الأصل ومتقاطعة مع أسطوانة محورها هو المحور y، ويُعَد ذلك وصفًا للمزهرية في إطارها الخاص. يمكنك وصف موقع المزهرية بأنه "يبعد 20 سم تقريبًا من الحافة الأمامية للطاولة و30 سم من الحافة اليمنى"، واستخدمنا بذلك إطارًا آخر لوصف الموقع. يمكنك أيضًا التحدث عن كيفية مشاهدتك للطاولة من مسافة 2 متر تقريبًا وارتفاع 1.5 متر، ويستخدم ذلك إطارًا آخر لوصف مجال رؤيتك. يمكن أن تتجول أيضًا حول الطاولة معجبًا بالمزهرية الجميلة، وعندها يجب أن تستخدم إطارًا آخر لوصف مجال رؤيتك الجديد. لنفترض أنك خرجت للمشي، واقترب منك شخص غريب وسألك عن الاتجاهات إلى مكتب البريد، فما هو إطار الإحداثيات الذي ستستخدمه؟ هل ستستخدم خط العرض وخط الطول استنادًا إلى جرينتش في إنجلترا؟ أم ستستخدم عدد مباني المدينة على يسار ويمين موقعك الحالي؟ حسنًا، إن لم يكن لدى هذا الشخص الغريب جهاز استقبال GPS، فيُرجَّح أن يكون إطار إحداثيات مباني المدينة هو الأكثر فائدة. تمثيل الأشعة باستخدام المصفوفات العمودية لنعُد إلى عالمنا الافتراضي، حيث تكون الإزاحة من النقطة A إلى النقطة B هي الشعاع v، ولكن لا يعتمد الشعاع على أيّ نظام إحداثي. يمكن تمثيل الإزاحة باستخدام نظام الإحداثيات الأول (المخطط البياني الأوسط) بأنها: (الفرق في إحداثيات y, الفرق في إحداثيات x) وبالتالي تكون الإزاحة هي: ‎(4, 0)T‎ في هذا المخطط البياني، أي التحرّك بمقدار 4 وحدات من النقطة A باتجاه المحور x للوصول إلى النقطة B، بينما يُمثَّل الشعاع نفسه بالمصفوفة العمودية ‎(2.8, -1.4)T‎ في نظام الإحداثيات الثاني (الرسم البياني الأيمن). تُمثَّل كلٌّ من النقاط والأشعة باستخدام المصفوفات العمودية، فهل يُحتمَل أن يكون ذلك مربكًا؟ نعم هذا محتمل، إذ يؤدي هذا الارتباك إلى استخدام الإحداثيات المتجانسة Homogeneous Coordinates، والتي هي طريقة أخرى لتمثيل النقاط والأشعة باستخدام المصفوفات العمودية، ولكننا لن نشرحها في في هذا المقال. تمثيل جمع الأشعة باستخدام جمع المصفوفات العمودية إذا كانت الأشعة مُمثلَّة بالمصفوفات العمودية، فسنمثّل جمع الأشعة بجمع المصفوفات العمودية كما يلي: a = ( 3, 2 )T b = ( -2, 1 )T a + b = c = ( 1, 3 )T يوضح المخطط البياني السابق قاعدة الرأس إلى الذيل المُستخدَمة لجمع الشعاعين a و b للحصول على الشعاع c، وينتج عن جمع المصفوفتين العموديتين a و b المصفوفة العمودية c التي هي التمثيل الصحيح للشعاع c. تغيير ترتيب معاملات عملية الجمع مع الإجابة نفسها جرب حساب c = b + a للمصفوفتين العموديتين a و b السابقتين نفسهما، وستكون الإجابة نفسها هي: b + a = c = ( 1, 3 )T اتبع الخطوات التالية التي يكون فيها الشعاع b بمثابة شعاع البداية لإنشاء الرسم البياني التالي: ارسم الشعاع الأول b على شكل سهم، بحيث يكون ذيله عند نقطة الأصل. ارسم الشعاع الثاني a على شكل سهم، بحيث يكون ذيله عند نقطة رأس الشعاع الأول. يكون مجموعهما هو السهم المتشكّل من نقطة الأصل إلى رأس الشعاع الثاني. ملاحظة: تذكّر أن الأشعة ليس لها موقع محدّد، لذا يمكنك رسم مثيل للشعاع بحيث يبدأ ذيله من أيّ نقطة تريدها. يجب أن تكون نتيجة الجمع هي نفسها بما أن جمع الأشعة عملية تبديلية. تذكير: تُعَد عملية جمع الأشعة وجمع المصفوفات العمودية عملية تجميعية أيضًا. تدريب عملي ليكن لدينا الشعاعان: R = ( 4, 3 )T S = ( 1, 2 )T أوجد ناتج عملية الجمع: T = R + S يمكنك إيجاد الناتج من خلال استخدام جمع المصفوفات العمودية وقاعدة الرأس إلى الذيل، وسيكون الناتج عند تطبيق القاعدة هو: T = (5, 5)T ولنجمع الآن الشعاعين بترتيب معاكس كما يلي: T = S + R حيث يكون الشعاعان هما: S = ( 1, 2 )T R = ( 4, 3 )T وتبقى الإجابة نفسها: T = (5, 5)T استخدام متوازي الأضلاع في عملية جمع الأشعة هناك طريقتان لتشكيل عملية الجمع: T = S + R T = R + S حيث يكون الشعاعان هما: R = ( 4, 3 )T S = ( 1, 2 )T هناك طريقتان للرسم اعتمادًا على ذيل السهم الذي تضعه عند نقطة الأصل، بحيث إذا استخدمتَ كلا الطريقتين، فستحصل على متوازي أضلاع مع ناتج جمع الأشعة الذي يُمثَّل بسهم قطري يبدأ ذيله من نقطة الأصل. قد تتساءل عن ما هو متوازي الأضلاع Parallelogram وعمّا إذا كانت مادة الهندسة التي تعلّمتها في المدرسة الثانوية غامضة قليلًا، فمتوازي الأضلاع هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين ومتساويين في الطول، مثل السهمين الأزرقين الممثلين للشعاع s اللذين لهما الطول والاتجاه نفسه، والسهمين الأخضرين الممثلين للشعاع r اللذين لهما الطول والاتجاه نفسه. رحلة ثنائية الاتجاه أوجد ناتج ما يلي: w = u + v إذا كان: u = ( -3, 2 )T v = ( 1, -5 )T والجواب هو: w = ( -2, -3 )T يوضح المخطط البياني السابق عملية الجمع w= u + v. لنفترض أن نملةً ما تبدأ التحرك من نقطة الأصل وتسير على طول الشعاع u، ثم تسير على طول الشعاع v حتى تصل إلى رأس الشعاع w، وتبدأ النملة الثانية من نقطة الأصل وتسير على طول الشعاع w حتى تصل إلى نهايته، وبالتالي ستصل كلتا النملتين إلى النقطة نفسها. جمع الإزاحات وجمع الأطوال غير متساويين هل مشت النملتان المسافة نفسها في المثال السابق؟ في هذه الحالة، لا! فمن الواضح أن المشي في خط مستقيم إلى الوِجهة النهائية أقصر. لا يُعَد جمع الإزاحات (أو الأشعة) مثل جمع أطوالها، إذ ينتج عن جمع الشعاعين u و v شعاع أقصر من طول الشعاع u مع طول الشعاع v في المثال السابق؛ ويمكنك ملاحظة ذلك حاليًا من خلال النظر إلى المخطط البياني السابق، وتذكّر أن "الخط المستقيم هو المسافة الأقصر بين نقطتين" (سنناقش ذلك لاحقًا باستخدام صيغة فيثاغورس). تسمى هذه الحقيقة الرياضية بمتراجحة المثلث Triangle Inequality، وهي تنص على أن ناتج جمع أي طولين من أضلاع المثلث أكبر من طول الضلع الثالث. طول (v + u) <= طول (u) + طول (v) إليك حالة يكون فيها طول ناتج الجمع أقصر بكثير من مجموع الأطوال: e = ( 5, 4 )T g = ( -4.9, -3.9 )T e + g = (0 .1, 0.1 )T ملاحظة: نقلنا الشعاع g قليلًا من المكان الذي ينبغي أن يكون فيه للتوضيح. الأشعة ذات الاتجاه نفسه هل يمكنك التفكير في حالة يكون فيها طول ناتج الجمع مساويًا لمجموع طولي شعاعي الدخل؟ نعم يمكن ذلك إذا كان لأحد الشعاعين اتجاه الشعاع الآخر. يمكن توضيح هذه الحالة في المخطط البياني التالي، إذ تُستخدَم قاعدة الرأس إلى الذيل لجمع شعاعين يؤشّران إلى الاتجاه نفسه، وتُسمَّى الأشعة ذات الاتجاه نفسه بأنها مرتبطة خطية Collinear. نقلنا شعاع ناتج الجمع قليلًا عن مكانه الصحيح حتى تتمكّن من رؤيته. بعد ذلك جمعنا الشعاعين ‎(4, 3)T‎ و ‎(2, 1.5)T‎، والناتج هو ‎(6, 4.5)T‎. يمكنك حاليًا تحديد ما إذا كان هناك شعاعان لهما الاتجاه نفسه من خلال النظر إلى الصورة أو باستخدام المفاهيم الهندسية، وستتعرّف لاحقًا على إجراءٍ لاختبار ما إذا كان هناك شعاعان يؤشّران إلى الاتجاه نفسه. يعبِّر هذا المثال عن حالةٍ تطبِّق إشارة المساواة "=" الموجودة في الصيغة التالية: طول (v + u) <= طول (u) + طول (v) جمع الأشعة الصفرية هل يمكنك التفكير في حالةٍ أخرى تطبّق إشارة المساواة "=" الموجودة في الصيغة السابقة؟ نعم، عندما يكون أحد الشعاعين شعاعًا صفريًا كما يلي: طول ‎(0 + u)‎ <= طول (u) + طول (0) اجمع المصفوفة الصفرية ‎( 0, 0 )T‎ مع المصفوفة ‎( 4, 3 )T‎، فإذا مثّلت المضفوفة ‎( 0, 0 )T‎ شعاع إزاحة، فهذا يعني عدم تطبيق أيّ شيء لتغيير موضع الشعاع الآخر. جمع النقاط والأشعة لنفترض أنك تريد جمع الشعاع ‎(1, 2)T‎ والنقطة ‎(4, 4)T‎. إذا كان ذلك منطقيًا، فأجرِ هذه العملية، وما هو نوع الكائن الناتج؟ يكون الناتج نقطة كما يلي: ‭‭(4, 4)T + (1, 2)T = ( 5, 6 )T إذا كان الشعاع ‎(1, 2)T‎ إزاحة (أي مقدار يمكن تغيير قيمة x به، ومقدار يمكن تغيير قيمة y به)، فيجب أن تكون النتيجة نقطة في موقع جديد كما يلي: ‭(4, 4)T + (1, 2)T = ( 5, 6 )T هذه إحدى الحالات التي يكون فيها استخدام التمثيل (أي المصفوفات العمودية) نفسه لكل من النقاط والأشعة أمرًا مربكًا، لذا يجب عليك تتبّع نوع الكائن الذي تمثله كل مصفوفة. تنتج نقطةٌ عن جمع شعاع إزاحة ونقطة كما في المخطط البياني التالي: يُعَد جمع كائنين رياضيين من نوعين مختلفين غريبًا قليلًا، ولا تنسَ أن إشارة الجمع "+" إشارة قابلة للتحميل الزائد overloaded. الانسحاب Translation تُسمَّى عملية جمع شعاع ونقطة بالانسحاب Translation، ويُقال أحيانًا أن النقطة الأصلية مسحوبةً إلى موقع جديد. قد تكون المصطلحات هنا مربكةً قليلًا، إذ ينتج عن جمع شعاع ونقطة من الناحية الرياضية نقطةٌ جديدة، بحيث تبقى النقطة الأولى دون تغيير، ولكن من الجيد التفكير في الصور "التي تتحرك عبر الشاشة" عند جمع أشعة الإزاحة والنقاط الخاصة بها في مصطلحات الرسوميات الحاسوبية، لذا قد تسمع أحيانًا مصطلحات مثل "تحريك نقطة" و"النقطة القديمة" و"النقطة الجديدة". لقد رأينا تطبيق العمليات التالية: شعاع + شعاع. نقطة + شعاع. نقطة - نقطة. فهل تفترض أنه يمكن إجراء العملية نقطة + نقطة؟ لا يُعَد جمع نقطتين شيئًا هندسيًا. يمكنك تشكيل مجموع شعاعين عموديين يمثلان نقاطًا ميكانيكيًا، ولكن النتيجة لا تكون ذات معنى فعلي. لقد وصلنا إلى نهاية هذا المقال، وسنناقش في المقال التالي العمليات على الأشعة بصورة أكبر، وسنناقش لاحقًا مزيدًا من العمليات على الأشعة. ترجمة -وبتصرُّف- للفصل Vector Addition من كتاب Vector Math for 3D Computer Graphics لصاحبه Bradley Kjell. اقرأ أيضًا المقال السابق: كيفية جمع وطرح المصفوفات العمودية والمصفوفات السطرية الأشعة والنقاط والمصفوفات العمودية في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد التعرف على النقاط والخطوط في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد

سنناقش في هذا المقال كيفية جمع وطرح المصفوفات العمودية والسطرية ولكن لنتعرّف على بعض المصطلحات التي سنستخدمها: النقطة Point: كائن هندسي، وهو موقع في فضاء ثلاثي الأبعاد أو ثنائي الأبعاد. الشعاع Vector: كائن هندسي له خصائص الاتجاه والطول، ولكن ليس لديه خاصية الموقع. المصفوفة العمودية Column Matrix: قائمة مرتبة من الأعداد تُرتَّب ضمن عمود. المصفوفة السطرية Row Matrix: قائمة مرتبة من الأعداد تُرتَّب ضمن صف. العنصر Element: أحد الأعداد التي تشكل المصفوفة العمودية أو السطرية. البعد Dimension: عدد العناصر في مصفوفة عمودية أو سطرية. الإزاحة Displacement: هو الفرق بين موقعين، ويعبَّر عنه باستخدام شعاع. كما سنوضّح في هذا المقال المواضيع التالية: منقول Transpose المصفوفة العمودية أو السطرية. جمع المصفوفات العمودية والمصفوفات السطرية. الخاصية التبديلية لجمع المصفوفات. الخاصية التجميعية لجمع المصفوفات. طرح المصفوفات العمودية والمصفوفات السطرية. الخاصية غير التبديلية لطرح المصفوفات. منقول مصفوفة Transposition ماذا تُسمَّى عملية قَلب مصفوفة العمودية، أو ماذا تُسمَّى عملية قَلب مصفوفة سطرية إلى مصفوفة عمودية؟ تسمّى عملية المنقول Transposition. تُعَد المصفوفة السطرية والمصفوفة العمودية من نوعين مختلفين حتى لو كان لهما البعد نفسه وتحتويان على العناصر نفسها، لذا يُستخدَم الحرف العُلوي "T" عند كتابة مصفوفة عمودية مثل صفٍ من الأعداد، إذ يكون العنصر الأول في المصفوفة العمودية هو العنصر الموجود أعلى العمود، ويكون العنصر الأول في المصفوفة السطرية هو العنصر الموجود على يسار الصف. سنوضح فيما يلي طريقتين لكتابة المصفوفة العمودية نفسها، إذ تُكتَب عناصر المصفوفة العمودية بالطريقة نفسها بغض النظر عن كيفية عرض المصفوفة العمودية. يعني وجودُ حرف T العُلوي في المصفوفة العمودية قلبَ العمود إلى صف، وينتج عنه مصفوفة سطرية، وتستخدم بعض الكتب حرف t صغير. ما هو : ‎(1, 2, 3)T T‎؟ ‭( 1, 2, 3 )T T = ( 1, 2, 3 ) يؤدي تطبيق المنقول مرتين إلى العودة إلى ما بدأت به. يبدو هذا واضحًا الآن، ولكن قد يكون من المفيد تذكّر ذلك لاحقًا عند تطبيق المعالجة الجبرية. جمع المصفوفات العمودية يمكن جمع مصفوفتين عموديتين لهما البُعد نفسه، وتنتج مصفوفة عمودية لها البعد نفسه أيضًا، وينطبق الشيء نفسه على المصفوفات السطرية. تُطبَّق عملية الجمع من خلال جمع العناصر المتقابلة لمصفوفات الدخل لإنتاج العناصر المقابلة لمصفوفة الخرج كما يلي: ‭( 42, -12 )T + ( 8, 24 )T = ( 50, 12 )T ‭( 32.98, -24.71, 9.392 )T + ( -32.98, +24.71, -9.392 )T = (0, 0, 0)T ‭( 9.2, -8.6, 3.21, 48.7 ) + ( -2.1, 4.3, 1.0, 2.3 ) = ( 7.1, -4.3, 4.21, 51.0 ) ‭( 1, 2, 3 ) + ( 10, 20, 30 ) = ( 11, 22, 33 ) إذا كان a و b مصفوفتين من النوع نفسه، فإن ‎a + b = c‎ يعني أن كل عنصر ci = ai + bi‎ أوجد ناتج ما يلي: ‎( 2, -2 )T + ( 8, 6 )T‎ الجواب: ‭( 2, -2 )T + ( 8, 6 )T = ( 10, 4 )T جمع المصفوفات ثلاثية الأبعاد يجب أن تكون المصفوفات التي تجمعها لها البُعد والنوع نفسه سواءً كانت عمودية أم سطرية. يجري التعامل مع كل بُعد بصورة مستقلة عن الأبعاد الأخرى عند جمع المصفوفات، فمثلًا سيكون لديك ثلاث عمليات جمع منفصلة باستخدام العمليات الحسابية العادية عند جمع مصفوفتين عموديتين ثلاثيتي الأبعاد، إذ تُجمَع العناصر الأولى من المصفوفات التي تمثل معاملات عملية الجمع لتكوين العنصر الأول من المصفوفة الناتجة. أوجد ناتج ما يلي:‭ ( 8, 4, 6 )T + ( 2, -2, 9 )T ‭ ( 2, -2, 9 )T + ( 8, 4, 6 )T الجواب: ‭( 8, 4, 6 )T + ( 2, -2, 9 )T = ( 10, 2, 15 )T ‭( 2, -2, 9 )T + ( 8, 4, 6 )T = ( 10, 2, 15 )T الخاصية التبديلية Commutative لجمع المصفوفات تُعَد عملية جمع المصفوفات عملية تبديلية، أي أن: a + b = b + a، وينطبق ذلك على المصفوفات السطرية والعمودية بجميع أبعادها، إذ يمكن القول أن: a + b + c = b + c + a = c + a + b = …..‎. تعني الخاصية التبديلية أن ترتيب جمع المصفوفات غير مهم، إذ تعمل المصفوفات باستخدام طريقة عمل الأعداد نفسها بالنسبة للجمع: 1 + 2 = 2 + 1، فالمصفوفات والأعداد عادةً لا تعمل بالطريقة نفسها ولكنها كذلك بالنسبة لعملية الجمع. أوجد ناتج ما يلي: ‎( -1, -2, 3 )T + ( 1, 2, -3 )T‎ الجواب: ‭( -1, -2, 3 )T + ( 1, 2, -3 )T = ( 0, 0, 0 )T المصفوفة العمودية الصفرية ليكن لدينا مثلًا مصفوفة صفرية كما يلي: ‭( 73.6, -41.4 )T + ( 0.0, 0.0 )T = (73.6, -41.4 )T تُسمَّى المصفوفة التي تكون جميع عناصرها أصفارًا بالمصفوفة الصفرية Zero Matrix، ويكون ناتج جمع المصفوفة الصفرية والمصفوفة a لهما النوع نفسه هو المصفوفة a. نرمّز المصفوفة الصفرية بالرمز 0 (صفر بالخط العريض) الذي يختلف عن 0 (العدد الحقيقي صفر)، ويحدّد السياق الذي ترى فيه الرمز 0 ما إذا كانت مصفوفة صفرية سطرية أم عمودية وعدد العناصر التي تحتوي عليها. فإذا رأيت ‎(73.6, -41.4 )T + 0‎ ، فيمكنك أن تفترض ما هو النوع الصحيح للمصفوفة 0 والمناسب للتعبير. الخاصية التجميعية Associative لجمع المصفوفات أوجد ناتج ما يلي: ‎( 2, 5, -9 ) + ( -32.034, 94.79, 201.062 ) + ( -2, -5, 9 )‎ الجواب: ( 2, 5, -9 ) + ( -32.034, 94.79, 201.062 ) + ( -2, -5, 9 ) = ( -32.034, 94.79, 201.062 ) + ( -2, -5, 9 ) + ( 2, 5, -9 ) = ---------------------------- ( -32.034, 94.79, 201.062 ) + ( 0, 0, 0) = ( -32.034, 94.79, 201.062 ) قد يفقد بعض الطلاب صبرهم عندما يجمّعون المصفوفتين الأوليتين، ثم يجمّعون الناتج مع المصفوفة الثالثة، ولكن يدرك بعضهم أنه يمكن إعادة ترتيب المصفوفات إلى ترتيب أكثر ملاءمة بما أن جمع المصفوفات يُعَد عملية تبديلية، إذ يمكنهم اختيار عملية الجمع "+" التي يريدون تطبيقها أولًا بعد أن تصبح المصفوفات في ترتيب مناسب. يُعَدّ جمع المصفوفات عملية تجميعية، وهذا يعني أن: ‭( a + b ) + c = a + ( b + c ) أي يمكن جمع المصفوفتين a و b‎ ثم جمع النتيجة مع المصفوفة c، وستكون النتيجة النهائية هي نفسها كما لو جمعت المصفوفة a إلى نتيجة جمع المصفوفتين b و c. يمكن تطبيق ذلك على المصفوفات السطرية والعمودية بجميع أبعادها. هل يمكنك إيجاد ناتج ما يلي في الوقت المناسب؟ ‎( 25.1, -19.6 ) + ( -5.0, 9.0 ) + ( 12.4, 8.92 ) + ( -20.1, 10.6 )‎ الجواب: ( 25.1, -19.6 ) + ( -5.0, 9.0 ) + ( 12.4, 8.92 ) + ( -20.1, 10.6 ) = ------------- --------------- \ / \ / \ / \ / ( 25.1, -19.6 ) + ( 12.4, 8.92 ) + ( -25.1, 19.6 ) --------------- --------------- \ / \ / \ / \ / \ / ( 0.0, 0.0 ) + ( 12.4, 8.92 ) = ( 12.4, 8.92 ) بعض الأشياء التي لا يمكن استخدامها عند جمع المصفوفات يعني الرمز "+" زيادة التحميل Overloaded في مصطلحات علوم الحاسوب، مما يعني أن العملية المُستدعاة تعتمد على نوع المعاملات، فمثلًا: يعني الرمز + هنا جمع أعداد حقيقية: 1.34‎ + -9.06 يعني الرمز + هنا جمع مصفوفات عمودية: ‎( 84.02, 90.31 )‎T + ( -14.23, 10.85 )T‎ بينما لا تعطي الأمور التالية أيّ معنًى: لا يمكن جمع عدد ومصفوفة: 34.5‎ + ( 84.02, 90.31 )T‎ لا يمكن جمع مصفوفة سطرية ومصفوفة عمودية: ‎( 84.02, 90.31 )‎ + ( -14.23, 10.85 )T‎ ‎* لا يمكن جمع مصفوفات ذات أبعاد مختلفة: ‎( 84.02, 90.31 ) + ( -14.23, 10.85, 32.75 )‎ تكون هذه المشاكل واضحة عند كتابة العناصر كما سبق، ولكنها تكون أقل وضوحًا عند استخدام الرموز المتغيرة كما يلي: لا يمكن جمع عدد ومصفوفة a + x‎. يجب التأكد من أن المعاملين x + y من النوع نفسه. يمكن إجراء عملية الجمع: ‎( 4.5, x1, w ) + ( -2.3, 3, y2 )‎ كما يلي: ‭( 4.5, x1, w ) + ( -2.3, 3, y2 ) = ( 2.2, x1 +3, w+ y2 ) طرح المصفوفات يمكن طرح مصفوفتين من النوع نفسه وتنتج مصفوفة ثالثة من ذات النوع، إذ يمكن طرح مصفوفتين من خلال طرح العناصر المتقابلة، مع الحرص على إبقاء العناصر بالترتيب نفسه كما يلي: ‭(10, 8, 12 ) - (2, 14, 9 ) = ( 10 - 2, 8 - 14, 12 - 9 ) = ( 8, -6, 3 ) إذا كانت a و b مصفوفتان من النوع نفسه، فإن ‎a - b = c‎ تعني أن كل عنصر ci = ai - bi‎ ليست عملية الطرح تبديلية أوجد ناتج ما يلي: ‭(22, 5, -12 ) - (10, -5, 3 ) ‭(10, -5, 3 ) - (22, 5, -12 ) الجواب: ‭(22, 5, -12 ) - (10, -5, 3 ) = ( 22 - 10, 5 - (-5), -12 - 3 ) = ( 12, 10, -15 ) ‭(10, -5, 3 ) - (22, 5, -12 ) = ( 10 - 22, (-5) - 5, 3 - (-12) ) = (-12, -10, 15 ) حقيقة رياضية: لا تُعَد عملية الطرح تبديلية، وهذا يعني أنه لا يمكنك تغيير الترتيب عند طرح المصفوفتين a - b. يمكن إيجاد معاكس مصفوفة ‎-a‎ من خلال إيجاد معاكس كل عنصر من عناصر هذه المصفوفة كما يلي: ‭-(22, 5, -12 ) = ( -22, -5, 12 ) ‭-( 19.2, 28.6, 0.0 )T = ( -19.2, -28.6, 0.0 )T يمكن القول أنه إذا كانت a هي ( a0, a1, …, a2‎) فإن ‎-a تعني ‎(-a0, -a1, …, -a2)‎. إدخال الإشارة السالبة داخل الأقواس أوجد ناتج عملية الطرح التالية: ‎( -7.2, -98.6, 0.0 )T - ( -2.2, -2.4, 3.0 )T‎ الجواب: ‭( -7.2, -98.6, 0.0 )T - ( -2.2, -2.4, 3.0 )T = ‭( -7.2 -(-2.2), -98.6 -(-2.4), 0.0 - 3.0)T = ‭( -5.0, -96.2, - 3.0)T ولكن قد تجد أن الطريقة التالية أسهل للحل: ‭( -7.2, -98.6, 0.0 )T - ( -2.2, -2.4, 3.0 )T = ‭( -7.2, -98.6, 0.0 )T + ( +2.2, +2.4, -3.0 )T = ‭( -5.0, -96.2, - 3.0)T اُستخدِمت الإشارة السالبة الخارجية لعكس إشارة المصفوفة الثانية، ثم تُجمَع المصفوفتان الناتجتان كما يلي: a - b = a + (-b) قد يكون من المفيد تذكّر ذلك، حيث يمكنك عكس إشارة المصفوفات بحيث تكون العملية هي جمع المصفوفات ثم إعادة ترتيب عملية الجمع لأن عملية الجمع تُعَد عملية تبديلية: a - b + c - d = a + (-b) + c + (-d) = (-d) + a + c + (-b) = الجمع بأيّ ترتيب تريده إليك بعض الحقائق الأخرى: ‭a + (-a) = 0 ‭a - a = 0 لاحظ أن 0 هي المصفوفة الصفرية، ولها نوع المصفوفة a نفسه ولكن تكون جميع عناصرها صفر. أجرِ العملية التالية: ‭‎( 4, -5, 6.2 ) + ( -43.132, 13.6, 86.5 ) - ( 4, -5, -4.8 )‎ حاول إعادة الترتيب بدلًا من التسرع والحساب مباشرةً: ( 4, -5, 6.2 ) + ( -43.132, 13.6, 86.5 ) - ( 4, -5, -4.8 ) = ( 4, -5, 6.2 ) + ( -43.132, 13.6, 86.5 ) + ( -4, 5, 4.8 ) = ( 4, -5, 6.2 ) + ( -4, 5, 4.8 ) + ( -43.132, 13.6, 86.5 ) = ( 0, 0, 11 ) + ( -43.132, 13.6, 86.5 ) = (-43.132, 13.6, 97.5 ) وقد تتخطى بعض الخطوات إذا حاولت الحساب ذهنيًا. تدريب عملي أولًا، ما هو مجموع الإزاحات الثلاثة التالية: ‭d = ( -12.4, 14.8, 0.0 )T ‭e = ( 6.2, -10.2, 17.0 )T ‭f= ( 6.2, -4.6, -17.0 )T والناتج هو: ‎(0.0, 0.0 0.0)‎T‎. ثانيًا، أوجد قيمة x و y و z بحيث يكون ما يلي صحيحًا: ‭a = ( 8.6, 7.4, 3.9 ) ‭b = ( 4.2, 2.2, -3.0 ) ‭c = ( x, y, z ) ‭a + b + c = 0 وبالتالي يمكن كتابة ما يلي: ‭a + b + c = ( 12.8, 9.6, 0.9 ) + (x, y, z) = ( 12.8+x, 9.6+y, 0.9+z ) = (0, 0, 0) لذا يجب أن يكون: ‭12.8 + x = 0; x = -12.8 ‭ 9.6 + y = 0; y = -9.6 ‭ 0.9 + z = 0; z = -0.9 استخدام الجبر في جمع وطرح المصفوفات كان التمرين السابق هو العثور على عناصر المصفوفة c عندما: a** + b + c = 0‎**، ولكن إن لم تكن على علمٍ أنها مصفوفات، فقد تميل إلى حل هذا التمرين باستخدام جبر الأعداد الحقيقية real كما يلي: ‭a + b + c = 0 ‭a + b = -c + 0 ‭(a + b) = -c ‭-(a + b) = c يمكن استخدام هذه الطريقة طالما أن المصفوفات من النوع نفسه، والعمليات هي جمع "+" أو طرح "-" فقط، وبالتالي يمكنك التظاهر بأنك تطبّق عمليات جبرية عادية. لاحظ أن المعادلة الأخيرة تعني "اجمع a مع b، ثم اعكس إشارة النتيجة لتحصل على c". لنتعمق أكثر ولننظر فقط إلى العناصر الأولى من المصفوفات: ‭( a0, … ) + ( b0, … ) + ( c0, … ) = ( 0, …) ‭( a0, … ) + ( b0, … ) = -( c0, … ) + ( 0, …) ‭( a0, … ) + ( b0, … ) = -(c0, … ) ‭( a0 + b0, … ) = -( c0, … ) ‭-( a0 + b0, … ) = ( c0, … ) ‭-( a0 + b0) = c0 إذا كان ذلك غير منظم بالنسبة لك، فامسح ذهنيًا بعض الأشياء غير المرغوب فيها كما يلي: a0 + b0 + c0 = 0 ‭a0 + b0 = -c0 + 0 ‭a0 + b0 = -c0 a0 + b0 = -c0 ‭-( a0 + b0) = c0 وتتبع العناصر الأخرى النمط نفسه، وبالتالي تكون النتيجة صحيحة بالنسبة للمصفوفة ككل. أوجد قيمة c1‎ و c0‎ بحيث يكون ما يلي صحيحًا: ‭a = ( -4, 2 )T ‭b = ( 8, 3 )T ‭c = ( c0, c1 )T ‭a + b + c = 0 ويكون الحل باستخدام الطريقة التالية: ‭a + b + c = 0 ‭a + b = -c ‭( 4, 5 )T = -( c0, c1 )T ‭-( 4, 5 )T = ( c0, c1 )T ‭(-4, -5 )T = ( c0, c1 )T وبالتالي: ‭c0 = -4 ‭c1 = -5 وصلنا إلى نهاية المقال الذي تعلّمنا من خلاله كيفية جمع وطرح المصفوفات وسنوظّف هذه المعرفة في المقال التالي لتعلّم كيفية جمع [الأشعة](رابط المقال التالي). ترجمة -وبتصرُّف- للفصل Matrix Addition من كتاب Vector Math for 3D Computer Graphics لصاحبه Bradley Kjell. اقرأ المزيد المقال السابق الأشعة والنقاط والمصفوفات العمودية في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد. أنواع البيانات والعمليات الأساسية في لغة بايثون.

سنناقش في هذا المقال كائنات الرسوميات الحاسوبية التي هي الأشعة والنقاط وكيفية تمثيلها في الحاسوب بوصفها مصفوفات عمودية، فالمصفوفة العمودية column matrix هي كائن رياضي له العديد من الاستخدامات إلى جانب استخدامه في الرسوميات الحاسوبية، ولكن سنتعرف في هذا المقال على كيفية استخدامها في الرسوميات الحاسوبية فقط. سنتعرّف في هذا المقال على المواضيع التالية: نمذجة وعرض الرسوميات الحاسوبية. النقاط والأشعة الهندسية. المصفوفات العمودية والسطرية. حساب الإزاحات. مساواة المصفوفات العمودية. أسماء المصفوفات العمودية وعناصرها. تمثيل النقاط باستخدام المصفوفات العمودية. تُعَد النقاط والأشعة الهندسية ضروريةً في الرسوميات الحاسوبية، ويجب تمثيلها بطريقة تسهّل التعامل معها، لذا تُعَد المصفوفة العمودية الخيار المعتاد لذلك. تستخدم بعض كتب الرسوميات مصطلح الشعاع العمودي Column Vector للتعبير عن الكائن الذي نسميه في مقالنا بالمصفوفة العمودية، إذ يُعَد ذلك مجرد اختلافٍ في المصطلحات ولا يؤثر على المفاهيم أو الصيغ التي سنوضّحها لاحقًا، ولكن المشكلة الأسوأ هي أن بعض الكتب تستخدم المصفوفات السطرية Row Matrices، فالمصفوفات العمودية والمصفوفات السطرية متكافئة، ولكن المعادلات المكتوبة باستخدام المصفوفات السطرية ليست هي نفسها المكتوبة باستخدام المصفوفات العمودية. يمكننا ضبط هذه الاختلافات، ولكنها مزعجة قليلًا. مثال مشهد السائح الافتراضي ما هما نوعا الكائنات الهندسية التي يمكن تمثيلها باستخدام المصفوفات العمودية؟ هما النقاط والأشعة. تتكون الرسوميات الحاسوبية من نشاطين: أولهما إنشاء عالم خيالي ثلاثي الأبعاد في الحاسوب، وثانيهما إنتاج صور ثنائية الأبعاد لذلك العالم من نقاط نظر مختلفة. يشبه برنامج الرسوميات السائحَ الذي يتجول في معالم طبيعية رائعة ويلتقط الصور بالكاميرا، ويُجهَّز السائح الافتراضي بكاميرا سينمائية مع الرسوم المتحركة الحاسوبية. يتكون المشهد الخيالي من كائنات في فضاء ثلاثي الأبعاد، ويُحدَّد كل كائن باستخدام النقاط والخطوط التي تقع على سطحه مثل المشهد الشتوي السابق لصاحبه توان فان Tuan Phan. يتكون هذا النموذج من نقاط وقطع مستقيمة تربط بينها، وهناك حاجة إلى مزيدٍ من العمل لملء المنطقة بين القطع المستقيمة ولتطبيق الإضاءة للحصول على صورة واقعية. صورة المشهد الكاملة هل يمكن تمثيل الكرة باستخدام النقاط والخطوط؟ نعم، بالتأكيد. انظر إلى جسد رجل الثلج، إذ يبدو الشكل وكأنه كرة عند ملء المضلعات. هذه هي الصورة الكاملة، مع ملء المضلعات وتطبيق الإضاءة وإلقاء قليلٍ من ندف الثلج. يمكنك طلب نماذج من الكرات والأسطوانات والأقماع ووضعها في مشهدك في المكان الذي تريده باستخدام حزم الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد مثل OpenGL التي تملأ أيضًا المضلعات تلقائيًا وتطبّق نموذج الإضاءة لإنتاج تظليل واقعي. مشهد افتراضي آخر هل يمكن لسائحنا الافتراضي أن يتجول في مشهد الثلوج الافتراضي ويلتقط صورة مختلفة؟ نعم، يمكنه ذلك. يضع نموذج المشهد الثلجي كائنات مختلفة في فضاء ثلاثي الأبعاد، وبالتالي يمكن لسائحنا الافتراضي أن يتجول على يمين رجل الثلج ويلتقط صورةً أخرى ثنائية الأبعاد باستخدام الكاميرا الافتراضية، إذ أُنتِجت الصورة السابقة باستخدام النموذج والإضاءة نفسها، ولكن مع وضعٍ مختلف للكاميرا. الشعاع Vector ما هي النقطة؟ وضحنا في المقال السابق مفهوم النقطة بأنها موقع في الفضاء، حيث تُعَد النقطة في الهندسة موقعًا في الفضاء فليس لها حجم وخاصيتها الوحيدة هي الموقع، بينما تكون النقطة عادةً في الرسوميات الحاسوبية هي رأس الشكل ثلاثي الأبعاد. أما الشعاع الهندسي فله خاصيتان: الطول والاتجاه، ولكن ليس له موقع ثابت في الفضاء، فإذا كان له موقع ثابت، فسيكون قطعة مستقيمة. قد يكون الحديث عن شيء ليس له موقع أمرًا غريبًا، ولكنه يسهّل تطبيق الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد. يسمى هذا المزيج من "المسافة والاتجاه" بالإزاحة Displacement أحيانًا، ويمكن تطبيق الإزاحة نفسها (أي إزاحة واحدة فقط) على كل نقطة من النقاط المختلفة. لنفترض أن لدينا المكعب التالي مثلًا، إذ يحتوي الوجه الأمامي على أربعة رؤوس (أربع نقاط). إذا تحركتَ من كل نقطة من هذه النقاط بمقدار المسافة والاتجاه نفسه، فستصل إلى النقاط الأربعة للوجه الخلفي. تمثل العبارة "المسافة والاتجاه نفسه" الشعاعَ الذي يظهر بوصفه خطًا مع رأس سهم، ويوضح الشكل التالي هذا الشعاع أربع مرات، مرة واحدة لكل نقطة من الوجه. المصفوفة العمودية لنفترض أنك قضيت عطلة الربيع على الشاطئ والشمس مشرقة، فهل يسطع ضوء الشمس في الاتجاه نفسه لكل الموجودين على الشاطئ؟ نعم، إذ يكون "الاتجاه نحو الشمس" نفسه لكل الموجودين على الشاطئ، وبالتالي فهو شعاع. نهتم أحيانًا بالاتجاه فقط دون الاهتمام بالموقع أو بالطول كما في السؤال السابق، لذا نستخدم الشعاع لهذا الغرض، فطوله ليس مهمًا، لأننا نستخدم طولًا واحدًا في كثير من الأحيان. نهتم في أحيانٍ أخرى بكلٍ من الاتجاه والحجم، وعندها يُستخدَم كلٌّ من اتجاه وطول الشعاع. يمكن تمثيل الشعاع بقائمةٍ من الأعداد تدعى المصفوفة العمودية، والتي هي قائمة مرتبة من الأعداد المكتوبة ضمن عمود. تستخدم بعض الكتب كلمة "شعاع" لتعبّر عن فكرة الشعاع وتمثيله بوصفه ترتيبًا لثلاثة أعداد، ولكن يمكن أن يكون ذلك مربكًا أحيانًا. إليك فيما يلي مثالًا لمصفوفة عمودية: يسمى كل عددٍ في المصفوفة العمودية عنصرًا Element، وتكون هذه الأعداد حقيقية real، ويسمى عدد العناصر في الشعاع بالبُعد Dimension. المصفوفة السطرية Row Matrix هي قائمة مرتبة من الأعداد المكتوبة في صف واحد مثل المصفوفة السطرية: ‎(12.5, -9.34)‎. سنمثّل الأشعة دائمًا باستخدام مصفوفات عمودية بهدف التناسق، وتمثل بعض الكتب الأشعة باستخدام مصفوفات سطرية، إذ لا يحدث ذلك فرقًا جوهريًا، ولكنه يغيّر بعض الصيغ الرياضية قليلًا. ما هو عدد العناصر الموجودة في كل مصفوفة عمودية؟ الجواب هو: استخدام المتغيرات بوصفها عناصر مصفوفة يمكن أن تكون عناصر المصفوفة العمودية متغيرات variables كما يلي: يُعطَى العنصر الأول في المصفوفة العمودية أحيانًا الفهرس "0" أوالفهرس "1" أحيانًا. العرض المناسب للمصفوفة العمودية هل المصفوفة العمودية التالية: هي المصفوفة العمودية التالية نفسها؟ لا يمكن ذلك، فالمصفوفة العمودية هي قائمة مرتبة من الأعداد، وهذا يعني أن كل موضع في المصفوفة العمودية يحتوي على عدد أو متغير معين. يُعَد مظهر المصفوفات العمودية غريبًا في النصوص المطبوعة، لذا من الشائع كتابتها كما يلي: ‭(2.9, -4.6, 0.0)‎ T يرمز الحرف "T" إلى منقول المصفوفة Transpose الذي يعني تحويل الصفوف إلى أعمدة (سنوضح لاحقًا بالتفصيل معنى المنقول). المساواة بين المصفوفات هل المصفوفة ‎(1.2, -3.9, 0.0)‎ تساوي المصفوفة ‎(1.2, -3.9, 0.0)T‎؟ لا، فالمصفوفة الأولى هي مصفوفة سطرية، والمصفوفة الثانية هي مصفوفة عمودية، أي مكتوبة ضمن صف، ولكن الحرف "T" يعني أنها مصفوفة عمودية، إذ تُعَد المصفوفات السطرية والمصفوفات العمودية أنواعًا مختلفة من الكائنات، ولا يمكن أن تكون متساوية. ربما لم نميّز سابقًا بين المصفوفات السطرية والمصفوفات العمودية، ولم نوضِّح اختلاف الأشعة الهندسية عن المصفوفات العمودية المستخدمة لتمثيل هذه الأشعة، إذ يمكن أن تبدو هذه الاختلافات صعبة حاليًا، ولكن أبقِها حاضرةً في ذهنك لتجنب الالتباس مستقبلًا. يمكن أن تكون المصفوفتان العموديتان متساويتين إذا كانت: كلتا المصفوفتين مصفوفةً عمودية. لكل منهما البعد (عدد العناصر) نفسه. العناصر المقابلة لبعضها البعض في المصفوفتين متساوية. يمكن أن تكون المصفوفتان السطريتان متساويتين إذا كان: كلتا المصفوفتين مصفوفات سطرية. لكل منهما البعد (عدد العناصر) نفسه. العناصر المقابلة لبعضها البعض في المصفوفتين متساوية. الفروق الدقيقة بين المصفوفات هل المصفوفتان السطريتان ‎(8.0, -1.63, 7.0, 0.0)‎ و ‎(8.0, -1.63, 7.0, 1.0)‎ متساويتان؟ لا. يمكن مقارنة المصفوفات من النوع نفسه فقط، إذ يمكنك المقارنة بين مصفوفتين عموديتين ثلاثيتي الأبعاد، أو مصفوفتين سطريتين رباعيتي الأبعاد مثلًا، فليس من المنطقي مقارنة مصفوفة سطرية ثلاثية الأبعاد مع مصفوفة عمودية ثلاثية الأبعاد. ‭( 6, 8, 12, -3 )T = ( 6, 8, 12, -3)T ‭( 6, 8, 12, -3 ) = ( 6, 8, 12, -3 ) ‭( 6, 8, 12, -3 ) ≠ ( -2.3, 8, 12, -3 ) ‭( 6, 8, 12, -3 )T ≠ ( 6, 8, 12, -3 ) ‭( 6, 8, 12, -3 )T ≠ ( 6, 8, 12 )T يمثل المحرف ≠ عدم المساواة (قد يكون من الصعب رؤيته باستخدام متصفح الويب). تكون القواعد أحيانًا مريحة وتؤدي إلى عدم الدقة في التمييز بين المصفوفات السطرية والمصفوفات العمودية، ولكن سيؤدي إبقاء التمييز بينها واضحًا إلى تجنب الارتباك مستقبلًا. هل تُعَد المصفوفتان العموديتان ‎(1.53, -0.03, 9.03, 0.0, +8.64)T‎ و ‎(1.53, -0.03, 9.03, 1.0, -8.64)T‎ متساويتين؟ لا، ليستا متساويتين. أسماء المصفوفات من المفيد أن يكون للمصفوفات أسماء، إذ يُستخدَم عادةً حرف صغير بخط عريض لمصفوفة سطرية أو عمودية كما يلي: a = ( 1.2, -3.6 ) x = ( x1, x2, x3, x4 ) r = ( r0, r1 )T من المعتاد استخدام الأسماء من بداية أحرف الأبجدية الإنجليزية للمصفوفات العمودية التي تكون عناصرها معروفة مثل المصفوفة a السابقة، واستخدام الأسماء من نهاية أحرف الأبجدية الإنجليزية للمصفوفات العمودية التي تكون عناصرها متغيرات. تكون أسماء عناصر المصفوفة العمودية غالبًا مؤلفة من اسم المصفوفة العمودية الكاملة مع رمز سفلي مثل المصفوفة العمودية r وعناصرها r0‎ وr1‎. من الصعب كتابة الأحرف ذات الخط العريض بالقلم الرصاص أو بالطباشير، لذا بدلًا من ذلك يُوضَع سهم أو شريط فوق اسم المصفوفة العمودية كما يلي: _ -> x x لنفترض أن لدينا ما يلي: x = ( x1, x2 ) y = ( 3.2, -8.6 ) x = y ما الذي يجب أن يكون صحيحًا بشأن x1‎ و x2‎؟ x1 = 3.2 و x2 = -8.6 تمثيل الأشعة باستخدام المصفوفات العمودية تُستخدَم المصفوفات العمودية لتمثيل الأشعة وتُستخدَم لتمثيل النقاط أيضًا. يُستخدَم في الفضاء ثنائي الأبعاد نوع البيانات نفسه -وتكون مصفوفات عمودية ثنائية الأبعاد- لتمثيل نوعين مختلفين من الكائنات الهندسية هما النقاط والأشعة، ويُعَد ذلك أمرًا مربكًا، لذا سنصحح هذا الوضع لاحقًا. يوضح الشكل السابق شعاع الإزاحة الذي يمثل الفرق بين نقطتين في المستوي x-y، إذ نستخدم حاليًا أمثلةً في فضاء ثنائي الأبعاد، وسيأتي الفضاء ثلاثي الأبعاد لاحقًا. النقطة A لها الإحداثيات: x=2 و y=1، ويمكن تمثيلها بمصفوفة عمودية: ‎(2, 1)T‎. النقطة B لها الإحداثيات: x=7 و y=3، ويمكن تمثيلها بمصفوفة عمودية: ‎(7, 3)T‎. يمكن حساب الإزاحة من النقطة A إلى النقطة B في مسألتين منفصلتين هما: الإزاحة x هي الفرق بين قيم X أي: ‎7-2 = 5. الإزاحة y هي الفرق بين قيم Y أي: 3‎-1 = 2. وشعاع الإزاحة المُعبَّر عنه بمصفوفة هو: ‎(5, 2)T‎ = d‎. تُصوَّر أشعة الإزاحة على شكل سهم يربط بين نقطتين، إذ تكون النقطة A هي ذيل الشعاع، والنقطة B هي رأس الشعاع في الرسم البياني، ولكن تذكّر أن الأشعة ليس لها موضع، لذا يُعَد هذا الرسم مجرد مكان مناسب لرسمها، ولا يعبّر عن موضعها. الإزاحة Displacement تمثل المصفوفة العمودية d شعاع الإزاحة من النقطة A إلى النقطة B، فما هي المصفوفة العمودية التي تمثل الإزاحة من النقطة B إلى النقطة A؟ الإزاحة من النقطة B إلى النقطة A هي: الإزاحة x هي: 2‎-7 = ‎-5 الإزاحة y هي: 1‎-3 = ‎-2 وبالتالي فإن المصفوفة العمودية التي تمثل الإزاحة هي: ‎(-5, -2)‎T‎ = e‎ يؤشر شعاع الإزاحة إلى الاتجاه المعاكس عند زيارة النقاط بالترتيب المعاكس، ويكون كل عنصر ناتجًا عن ضرب القيمة القديمة بالعدد ‎-1 في المصفوفة العمودية. تختلف الإزاحة من النقطة A إلى النقطة B عن الإزاحة من النقطة B إلى النقطة A، إذ يمكن التفكير في الإزاحة بوصفها "إرشادات حول كيفية المشي من نقطة إلى أخرى"؛ لذا إذا كنت واقفًا عند النقطة A وترغب في الوصول إلى النقطة B، فإن الإزاحة ‎(5, 2)‎T‎ تقول "امشِ 5 وحدات في الاتجاه الموجب X، ثم امشِ وحدتين في الاتجاه الموجب Y". تحتاج بالطبع إلى اتجاهات مختلفة للانتقال من النقطة B إلى النقطة A، حيث تقول الإزاحة ‎(-5, -2)‎T‎ "امشِ 5 وحدات في الاتجاه السالب X، ثم امشِ وحدتين في الاتجاه السالب Y"، مما يعيدك إلى النقطة A. يمكن التعبير عن الإزاحة من نقطة البداية إلى نقطة النهاية كما يلي: الإزاحة = ‎‪(x نقطة النهاية - x نقطة البداية, y نقطة النهاية - y نقطة البداية)‎T‎ لنفترض أن النقطة C هي: x=4, y=2 وأن النقطة D هي: x=3, y= 5، فما هي المصفوفة العمودية التي تمثل الإزاحة من C إلى D؟ X لنقطة النهاية - X لنقطة البداية = 3 - 4 = ‎-1 Y لنقطة النهاية - Y لنقطة البداية = 5 - 2 = 3 إذًا فالمصفوفة العمودية هي: ‎(-1, 3)‎T‎ قراءة الإزاحات من الرسوم البيانية الورقية يوضح الرسم البياني التالي شعاعًا بين نقطتين، حيث يمكن قراءة عناصر الإزاحة بين النقطتين من الرسم البياني من خلال حساب عدد المربعات من ذيل الشعاع إلى رأسه: ‎(-3, 5)‎T‎. افعل الشيء ذاته الآن مع الرسم البياني التالي: ما هي الإزاحة من النقطة E إلى النقطة F؟ الإزاحة هي: ‎(7, 3)‎T‎ للتحقق من إجابتك، ابدأ من نقطة البداية واتبع التعليمات التالية: امشِ بمقدار 7 وحدات على محور X، ثم امشِ بمقدار 3 وحدات على محور Y. إذا كانت إجابتك صحيحة، فسينتهي بك الأمر عند نقطة النهاية. ليس للأشعة موقع محدد ما هي الإزاحة من النقطة G: (-3, 4)‎T‎ إلى النقطة H: (5, -2)‎T‎؟ يمكن الإجابة على هذا السؤال من خلال طرح قيم نقطة البداية G من القيم المقابلة لنقطة النهاية H ويعطي ذلك: ‎(8, -6)‎T‎. احسب الآن الإزاحة من النقطة M إلى النقطة N في الرسم البياني التالي من خلال طرح قيم نقطة البداية N من القيم المقابلة لنقطة النهاية M، ويعطي ذلك: ‎(8, -6)‎T‎، وهي القيمة نفسها للرسم البياني السابق. يُعَد شعاع الإزاحة هندسيًا من النقطة G إلى النقطة H هو شعاع الإزاحة نفسه من النقطة M إلى النقطة N، وتكون المصفوفتان العموديتان متساويتين باستخدام قاعدة مساواة المصفوفات العمودية. يُعَد ذلك منطقيًا، لأنك تقطع المسافة والاتجاه نفسه للمشي من النقطة M إلى النقطة N عند المشي من النقطة G إلى النقطة H، وبالتالي توضح هذه الرسوم البيانية الإزاحات مع الطول والاتجاه نفسه ولكن مع نقاط بداية مختلفة، فليس للأشعة موقعٌ محدد. من الشائع رسم الشعاع على شكل سهم في الرسوم البيانية، ذيله عند نقطة ورأسه عند نقطة أخرى، ولكن يمكن أن يمثل أيّ سهم له الطول والاتجاه نفسه هذا الشعاع. طرح النقاط هل تُعَدّ الإزاحة بين نقطتين فريدة؟ نعم، هذا صحيح. يمكن كتابة صيغة حساب شعاع الإزاحة على النحو التالي، إذ تساوي الإزاحة من النقطة S (نقطة البداية) إلى النقطة F (نقطة النهاية) ما يلي: F - S = ( Xf , Yf )T - ( Xs , Ys )T = ( Xf-Xs , Yf-Ys )T تُستخدَم نقطتان في هذه العملية لإنتاج شعاع واحد، فمن الغريب أن ينتج عن طرح كائنين لهما النوع نفسه كائنٌ من نوع آخر، وهذا يقودنا إلى السؤال التالي: إذا طرحنا نقطةً ثلاثية الأبعاد من نقطة أخرى ثلاثية الأبعاد، فهل ستكون النتيجة شعاعًا؟ نعم، إذ تعمل هذه الطريقة في الفضاء ثلاثي الأبعاد وثنائي الأبعاد. تدريب عملي لحساب الإزاحة لنفترض أن النملة ريم ضاعت عند النقطة ‎(8, 4)‎T‎، فأوجد الإزاحة التي ستوصِلها إلى صديقتها سلمى عند النقطة ‎(2, 2)‎T‎، أو ما هي الإزاحة التي يجب أن تتحرك بها ريم للعثور على صديقتها سلمى؟ لنطرح النقاط (سلمى - ريم): ‎(2, 2)‎T‎ - (8, 4)‎T‎ = (-6, -2)‎T‎ ستحصل على الإجابة نفسها من خلال عدّ مربعات ورقة الرسم البياني. استخدام الأعداد الحقيقية قد نرغب في تجنب الأعداد السالبة وبالتالي سنحسب الإزاحة بصورة غير صحيحة، إذ يُعَد وجود إزاحات سالبة أمرًا طبيعيًا، فالجزء "السلبي" مطلوب لإظهار الاتجاه. شيء آخر يجب أخذه في الحسبان وهو أن عناصر المصفوفة العمودية هي أعداد حقيقية، ولكن استخدمنا في الأمثلة أعدادًا صحيحة لتسهيل الأمور فقط، فلا يوجد أيّ خطأ في المصفوفة العمودية ‎(-1.2304, 9.3382)‎T‎. لنفترض أن لدينا النقطتان: النقطة B وهي: ‎( 4.75, 6.23 )‎ والنقطة A وهي: ‎( 1.25, 4.03 )‎، فما هي الإزاحة من النقطة A إلى النقطة B؟ الإزاحة من النقطة A إلى النقطة B هي: ‭( 4.75, 6.23 ) - ( 1.25, 4.03 ) = ( 3.50, 2.20 )T وصلنا إلى نهاية هذا المقال، وسنناقش في المقال التالي العمليات على الأشعة والعمليات المكافئة باستخدام المصفوفات العمودية. ترجمة -وبتصرُّف- للفصل Vectors, Points, and Column Matrices من كتاب Vector Math for 3D Computer Graphics لصاحبه Bradley Kjell. اقرأ المزيد المقال السابق التعرف على النقاط والخطوط في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد. الرسم باستخدام الأدوات المساعدة في كريتا دليلك الشامل إلى أنواع البيانات.

سنوضح في هذا المقال الأدوات الرياضية المُستخدَمة في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد Three Dimensional Computer Graphics -أو 3D Graphics اختصارًا، إذ يبني برنامج الرسوميات ثلاثية الأبعاد مشهدًا مكونًا من كائنات ثلاثية الأبعاد في فضاء ثلاثي الأبعاد، ثم تُنتَج صور ثنائية الأبعاد من المشهد ثلاثي الأبعاد، ويُمثَّل المشهد بوصفه هيكل بيانات في ذاكرة الحاسوب، وتُعَد الصورة ثنائية الأبعاد عادةً هي الصورة الموجودة على واجهة شاشة الحاسوب. تتكون الكائنات ثلاثية الأبعاد من نقاط وخطوط ومضلعات، إذ لا بد أنك تعرف ماهية هذه المفاهيم، ولكننا سنوضح في هذا المقال هذه المفاهيم ونقدم بعض المفردات الخاصة بالرسوميات الحاسوبية حتى نبدأ من أرضية مشتركة، إذ سنتعرّف على المواضيع التالية: النقاط. الخطوط. المثلثات. تمثيل النقاط والخطوط. إطارات الإحداثيات. تحديد الإحداثيات. تأثير تغيير الإطارات على الإحداثيات. الأشعة. تمثيل الأشعة. هناك شيئان أساسيان في الهندسة هما النقاط والخطوط، إذًا لنتعرف على هذين المفهومين، ولكن لنبدأ بالإجابة على سؤال "ما هي النقطة؟". النقطة ما هي النقطة؟ النقطة هي موقع في الفضاء. النقطة الهندسية هي موقع في الفضاء بدون أيّ خصائص أخرى، إذ لا تملك طولًا أو عرضًا أو سماكة، وتعَد موقعًا مجردًا. لن يساعدك هذا التعريف لمفهوم النقطة إن لم يكن لديك فهمٌ مسبق له، إذ تشير عبارة "موقع في الفضاء" إلى مفهوم كلمة "نقطة" نفسه، ولا يمكن للتعريف أن ينقل لك مفهومًا لا تملكه مسبقًا. لا يوجد تعريف لكلمة نقطة في الهندسة، فالنقطة هي إحدى المفاهيم الأولية غير المُعرَّفة التي تُستخدَم لتعريف الكائنات الأخرى، إذ تعطي الكتب أمثلةً عنها وتأمل أن تبني بنفسك مفهومًا منها بطريقةٍ ما بدلًا من إعطائك تعريفًا لها. تُظهر الصورة التالية قبتين على أحد المباني، وتُعَد هذه الصورة ثنائية الأبعاد، لكن فكّر في المبنى الفعلي ثلاثيّ الأبعاد، وركّز على القضيب المعدني (النهائي) الموجود أعلى القبة الأقرب. إذًا، تحدّد النهايةُ الحادة للقضيب المعدني موقعًا دقيقًا بحسب مقياس المبنى، إذ يمكننا تصور هذا الموقع بوصفه نقطة. ما هي النقاط فيزيائيا؟ لنفترض أن هذا القضيب المعدني أمامك على مكتبك، فهل تُعَد نهايته نقطة؟ غالبًا لا، إذ تكون النهاية غير حادة جدًا بحسب هذا المقياس، بحيث لا يمكن عدّها نقطة. تعبّر النقطة عن المثالية، إذ تكون نهاية القضيب المعدني بحسب مقياس المبنى صغيرةً بما يكفي لعَدّها موقعًا محددًا، وبالتالي يمكن عدّها نقطة، ولكن تكون نهايته غير حادة جدًا بحسب مقياس مكتبك بحيث لا يمكنها تحديد موقع واحد فعلًا. يجب أن يتناقص حجم هذا القضيب المعدني إلى حجم الدبوس بحسب مقياس المكتب، وبالتالي يمكنك أن تحدّد نهايته نقطةً ما. لكن إذا وضعت الدبوس تحت المجهر، فستكون نهايته غير حادة جدًا بالنسبة لهذا المقياس مرة أخرى، وبالتالي يجب أن تتقلص أكثر إلى حجم البكتيريا مثلًا قبل أن تتمكن النهاية من تحديد نقطة ما، لكن أصبحت نهاية القضيب المعدني مرةً أخرى سميكةً جدًا بحسب مقياس البكتيريا بحيث لا يمكنها تحديد الموقع بدقة. إذًا تعبّر النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد عن المثالية، إذ تكون النهاية الحادة للقضيب المعدني دقيقةً بما يكفي لتكون نقطة بالنسبة لنموذج المبنى الحاسوبي، ولا يلزم تحديد الحواف والمستويات والأشكال الأخرى التي يتكون منها المبنى بدقة أكبر. النقاط في الفضاء ما هو موقع نهاية القضيب المعدني الأبعد في الفضاء؟ انظر إلى الصورة مرةً أخرى وتخيل العلاقة بين نقطتي نهايتي القضيبين المعدنيين، إذ لا توجد إجابة فعلية ضرورية حاليًا. تكون نقاط النهاية للقضيبين المعدنيين في مواقع محدّدة من العالم الحقيقي real world، وسنحدّد هذه المواقع باستخدام إطار إحداثي لاحقًا، ولكن لنفكر الآن فقط في النقاط الموجودة في الفضاء. تضع في برامج الرسوميات ثلاثية الأبعاد نقاطًا وخطوطًا وأشياءً أخرى في الفضاء، ثم تسقطها على صورة ثنائية الأبعاد، ويحاكي ذلك ما حدث عند إنتاج الصورة باستخدام الكاميرا، إذ تكون نهايات القضيبين المعدنيين فيزيائيًا نقاطًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد. تسقط العدسة كامل المشهد على مستشعر الصور ثنائية الأبعاد، وتحدد نهايات القضبان المعدنية في الصورة ثنائية الأبعاد نقطتين ثنائيتي الأبعاد. الخطوط ما المسافة بين النقطتين عند طرفي القضيبين المعدنيين؟ يمكن أن نخمن أن المسافة حوالي 30 مترًا. يكون الحكم على العمق صعبًا في الصورة ثنائية الأبعاد في أغلب الأحيان، إذ تُفقَد معلومات العمق عند إنتاج صورة ثنائية الأبعاد من مشهد ثلاثي الأبعاد (إما مشهد حقيقي أو مشهد في الحاسوب). فكر الآن في القطعة المستقيمة Line Segment الواقعة بين النقطتين، والتي هي المسار المستقيم بين نقطتين بدون سماكة، ولا توجد سوى قطعة مستقيمة واحدة بين النقطتين. إن لم يكن لديك مفهوم مسبق عن "الخط"، فلن يكون التعريف السابق كافيًا لتعلمه، إذ تشير عبارة "المسار المستقيم" إلى مفهوم الخط الذي عرّفناه. تتعامل غالبًا مع القطع المستقيمة في الرسوميات ثلاثية الأبعاد، بينما تستمر الخطوط بلا نهاية في الهندسة، إذ تكون القطعة المستقيمة جزءًا من الخط بين نقطتين. لا يُعرَّف الخط العالمي في كتب الهندسة عادةً، وهو -مثل النقطة- مفهوم غير مُعرَّف يستخدم لتعريف كائنات أخرى، إذ تقدّم الكتب صورًا وأمثلة عن الخطوط، وتأمل أن تفهم بطريقة أو بأخرى ما هو الخط من خلال النظر إليها. يستخدم بعض الأشخاص مصطلح "خط" بينما يجب عليهم استخدام مصطلح "قطعة مستقيمة" الذي سنستخدمه في هذا المقال، نظرًا لأن القطع المستقيمة شائعة جدًا. القطع المستقيمة هل يمكنك تمديد stretch طول السلك بين النقطتين؟ نعم، من الناحية المفاهيمية على الأقل. يوجد سلك رفيع ممتد بين القضيبين المعدنيين بحسب مقياس المبنى، والذي يعبر عن تقريبٍ لقطعة مستقيمة، وكما تعلم يتعلق هذا الأمر بالمقياس، إذ يُرجَّح أن يكون السلك أسمك من الخط المرسوم بقلم رصاص، فالسلك الموجود على مكتبك سميك جدًا بحيث لا يمكن عدّه قطعة مستقيمة. بينما يكون الخط المرسوم بقلم الرصاص الرفيع والمستقيم رفيعًا بدرجة كافية لعدّه خطًا هندسيًا، وإذا كان سميكًا جدًا، فيمكن أن يكون طول خيط العنكبوت الممتد بين نقطتين مناسبًا. لكن يمكن عَدّ الأسلاك المدروسة على المستوى المعماري بمثابة قطع مستقيمة، ويمكنك بناء نموذج هندسي للمبنى باستخدام القطع المستقيمة لتمثيل الحواف. المثلثات جرّب رسم مثلث يربط بين القضيبين المعدنيين والزاوية العلوية اليسرى من السور الأبيض كما في الصورة التالية: يمكن إنشاء المثلث من خلال ربط ثلاث نقاط في فضاء ثلاثي الأبعاد بقطع مستقيمة، فإذا لم تقع النقاط الثلاث جميعها على الخط نفسه، فستحدّد ثلاث نقاط في الفضاء مثلثًا فريدًا. تُعَد المثلثات الموجودة في الفضاء مهمةً في الرسوميات ثلاثية الأبعاد، إذ تُنشَأ الكائنات ثلاثية الأبعاد التي تشكّل المشهد من المثلثات والمضلعات المسطحة الأخرى. المثلث الموجود في الصورة ثنائية الأبعاد هو إسقاط للمثلث ثلاثي الأبعاد في المشهد، ولكن يشوه الإسقاطُ المثلثَ ثلاثيّ الأبعاد، فالمثلث ثلاثي الأبعاد أكبر بكثير من المثلث ثنائي الأبعاد، وتكون الزوايا مختلفة. لنفترض أن الكائن ثلاثي الأبعاد في المشهد مكونٌ من عدة مثلثات، ولنسقط كل مثلث على صورة ثنائية الأبعاد، والنتيجة هي النسخة المُسقَطة من الكائن ثلاثي الأبعاد. يتكون السور الشبكي الأبيض في المبنى من العديد من المثلثات، وتُظهِر نسخة السور الشبكي الموجودة في الصورة جميع هذه المثلثات التي تسقطها عدسة الكاميرا. التمثيل باستخدام إطار إحداثيات هل تحتاج إلى إطار إحداثي -أي نظام مع تسمية النقاط بالإحداثيات x و y و z- للحديث عن النقاط والخطوط والأشكال المستوية؟ في الحقيقة لا حاجة لذلك. يمكنك التفكير في النقاط والخطوط والأشكال المستوية التي تشكّل المشهد ثلاثي الأبعاد دون استخدام نظام إحداثي، وهذا ما كنا نفعله في الحقيقة، ولكن يجب تمثيل هذه الكائنات بطريقة أو بأخرى والتعامل معها في رسوميات الحاسوب، ولذلك نحتاج إلى طريقة لتمثيلها. اختر نقطةً مناسبة في المشهد ثلاثي الأبعاد وأطلِق عليها اسم نقطة الأصل Origin، وحدد ثلاثة خطوط تسمى X و Y و Z والتي تمر عبر نقطة الأصل، وتكون الخطوط الثلاثة عادةً متعامدة على بعضها بعضًا، ويسمى كل خط محورًا Axis. اختر اتجاهًا إيجابيًا لكل خط، فهناك عدة خيارات لذلك، ولكن لنستخدم الخيار الموضّح في الصورة السابقة. تمثل كل نقطة من المحور X مسافةً فريدةً (موجبة أو سالبة أو صفر) من نقطة الأصل، فمثلًا تقع زاوية المبنى الموجودة على المحور X على مسافة 2.4 متر (8 أقدام) تقريبًا من نقطة الأصل. الإحداثيات تقع نقطة الأصل على ارتفاع صفر، ولكن على أي ارتفاع تقع نقطة نهاية القضيب المعدني الأقرب تقريبًا؟ يمكن القول أن ارتفاعها حوالي 3.6 مترًا (10 أقدام). أو يمكنك القول أن y=3.6 بالنسبة لنقطة نهاية القضيب المعدني، إذ يمكن إسناد تمثيل لأيّ نقطة في مشهدنا ثلاثيّ الأبعاد من خلال قياس المسافة على طول المحاور الثلاثة، إذ سنضع هذه المسافات الثلاث في مصفوفة عمودية على النحو التالي في هذا المقال (وفي العديد من كتب الرسوميات الحاسوبية): قد تكون معتادًا على وضع الإحداثيات الثلاثة في صف ثلاثي مثل (x, y, z)، ولكن سيتبين أنه من الملائم أكثر وضعها في مصفوفة عمودية كما ذكرنا بالنسبة للرسوميات الحاسوبية، فمثلًا إحداثيات زاوية المبنى التي تقع على طول المحور X هي تقريبًا: تحديد الإحداثيات ما هي إحداثيات نقطة زاوية الشبكة البيضاء على طول الحافة العلوية (المسمَّاة P0)؟ يمكن القول أنها تقريبًا: احسب عند تحديد الإحداثيات قياس المسافة على طول الخطوط الموازية لمحاور الإحداثيات، إذ ستشكّل الخطوط التي تستخدمها مستطيلًا أو أوجه صندوق. تشكّل الخطوط السوداء المنقطة المستخدمة للنقطة Q0 مستطيلًا، ويعطي قياس أضلاع المستطيل الإحداثيات التالية: من الصعب معرفة إحداثيات النقطة Q1، فالصورة ثنائية الأبعاد، ولكن المشهد الذي تظهره ثلاثي الأبعاد، وبالتالي فإن المحور Z مشوه، ولكن تشكل الخطوط المنقطة في المشهد ثلاثي الأبعاد صندوقًا، فقياس جميع الزوايا 90 درجة. مزيد من النقاط يمكن تقدير إحداثيات النقطة Q1 بالقيم التالية: لنعُد الآن إلى مشهدنا الواقعي، إذ يبلغ طول الشبكة البيضاء تقريبًا حوالي 2.4 متر (8 أقدام) من كل جانب. النقطة وتمثيلها يمكن تخمين إحداثيات طرف القضيب المعدني الأقرب بالقيم التالية: تُعَد المصفوفة العمودية كائنًا رياضيًا يمثل النقطة باستخدام إطار الإحداثيات الذي اخترناه، ولكن ليست هذه المصفوفة العمودية هي النقطة بحد ذاتها، فالمصفوفة العمودية والنقطة شيئان مختلفان، إذ يُستخدَم أحدهما لتمثيل الآخر مثل استخدام اسمك لتمثيلك. نأمل أن يكون ذلك واضحًا، ولكنه سيكون غامضًا بالنسبة للطلاب الذين يحاولون تخطي مواضيع رياضيات الرسوميات الحاسوبية بسرعة، مما يؤدي إلى ندمهم في نهاية المطاف، إذ يمكن أن يمثل كتاب الرسوميات الحاسوبية النقطة نفسها بعدة طرق مختلفة، لذا من الضروري الفصل بين أفكار النقطة الهندسية والطرق المتعددة التي يمكن تمثيلها باستخدامها. ملاحظة: يتحدث الأشخاص في أغلب الأحيان عرضيًا ويقولون أشياء مثل "النقطة ‎(4, 12, -4)‎"، كما لو كان هذا الصف الثلاثي من الأرقام متطابقًا مع النقطة، ولكن يُستخدَم ذلك للراحة فقط، إذ ينبغي عليهم أن يقولوا: "النقطة المُمثَّلة في نظام الإحداثيات الذي اخترناه بالتمثيل ‎(4, 12, -4)‎." تأثير تغيير الإطارات على الإحداثيات هل تقاس المسافات على طول محاور الإحداثيات بوحدة القدم أم بالأمتار؟ لا يهم، طالما أنك تستخدمها بصورة متناسقة. لا تُوضَع إطارات الإحداثيات المستخدمة في كتب الرياضيات في مشهد من العالم الحقيقي عادةً، لذلك لا يُعبَّر عن المسافات بأيّ وحدة معينة، ولكن يتعين عليك تحديد الوحدات التي تستخدمها عندما تنشئ عالمًا ثلاثي الأبعاد في الحاسوب. تُظهر الصورة التالية عالمًا ثلاثيّ الأبعاد مع وضع إطارٍ إحداثي مختلف فيه، إذ تبقى النقاط في العالم نفسها كما كانت سابقًا، ولكن سيكون لديها تمثيلات مختلفة مع إطار إحداثي مختلف: مثلنا النقطة المسمَّاة P1 بما يلي في الإطار السابق: ستكون الآن المسافات على طول المحاور في الإطار الجديد (الأخضر) مختلفة، فالمصفوفة العمودية التي تمثل النقطة P1 في الإطار الجديد هي تقريبًا: لم نمارس الرياضيات بصورة دقيقة هنا، بل نظرنا إلى الصورة وخمّنا المسافات فقط، لذا حاول أن تفعل الشيء نفسه، فالهدف ليس حساب أي شيء، بل التفكير في النقاط في الفضاء. للنقطة نفسها تمثيلات مختلفة في كل إطار، لذا يجب أن تعرف الإطار المُستخدَم عندما تمثل نقطةً بمصفوفة عمودية. ضوء الشمس يمكن تقدير إحداثيات النقطة P0 على الحافة العلوية للشبكة المبينة في الصورة أعلاه بالمصفوفة العمودية التالية: ولكن هذه القيم مجرد تقدير فقط. انظر إلى صورة المبنى مرةً أخرى، إذ تضيء الشمسُ المشهد، ولكنها ليست موجودة في الصورة، إذ يأتي ضوء الشمس في المشهد قطريًا من خارج المشهد إلى يساره. الأشعة Vector ارسم ذهنيًا بعض الخطوط في الصورة التي تظهر ضوء الشمس كما في الشكل التالي: يتدفق الضوء من أعلى اليسار عندما تنظر إلى المبنى، إذ تمثل الصورة ضوء الشمس بأسهم. حاول التفكير في المشهد ثلاثي الأبعاد بالرغم من أن الصورة ثنائية الأبعاد، فالاتجاه الذي يتحرك فيه الضوء موضَّح بالسهم، ويمثل طول السهم مثلًا شدة الضوء. توجد عدة أسهم في الصورة، إلا أنّ أيّ سهمٍ يكفي لتمثيل الضوء وشدته. يمكن تمثيل اتجاه الضوء وشدته بشعاع، والذي هو كائن هندسي له خاصيتان هما: الطول والاتجاه. للضوء الصادر من الشمس خاصيتان، هما: السطوع والاتجاه (مع تجاهل معلومات اللون)، ويتناسب طول الشعاع مع سطوع الضوء. يمكن تمثيل الرياح أيضًا بشعاع، فالرياح لها اتجاه وسرعة، إذ تنتقل ذرة من الغبار مع اتجاه الريح، ويتناسب طول الشعاع مع سرعة ذرة الغبار. ليس للشعاع موضع، إذ تُظهِر الصورة السابقة عدة أسهم تمثل تدفق الضوء القادم من الشمس، ولكن يمكن رسم الأسهم في أيّ مكان طالما أن اتجاهها وطولها هو نفسه. تمثيل الأشعة هل تفترض أن برنامج الرسوميات الحاسوبية يحتاج إلى تمثيل شدة الضوء واتجاهه؟ نعم، في الحقيقة هناك حاجة لذلك. تُستخدَم الأشعة لعدة أغراض في رسوميات الحاسوب ثلاثية الأبعاد، لذلك يجب أن تُمثَّل بطريقة يمكن للبرامج التعامل معها، ويحدث ذلك باستخدام الأرقام. لاحظ أن الصورة التالية تتضمن الآن إطار إحداثياتنا: يُمثَّل الشعاع بمصفوفة عمودية كما هو الحال مع النقاط، ويمكن أن يكون من المربك إلى حدٍ ما أن تُمثَّل النقاط والأشعة باستخدام الشيء نفسه، ولكن ذلك سيثبت أنه هذه الطريقة مناسبة ليتعامل معها الحاسوب. يمكن تمثيل الشعاع بمصفوفة عمودية باتباع الخطوات التالية: اختر إطارًا إحداثيًا. احسب طول X (موجب أو سالب) من ذيل الشعاع إلى رأسه. 3.احسب طول Y (موجب أو سالب) من ذيل الشعاع إلى رأسه. احسب طول Z (موجب أو سالب) من ذيل الشعاع إلى رأسه. ضع هذه الأرقام الثلاثة في عمود. إحدى الطرق الملائمة لذلك هي وضع ذيل الشعاع عند نقطة الأصل، ثم قراءة قيم x و y و z عند رأسه. الأشعة والإطارات كم مترًا في الاتجاه X للمسافة بين رأس الأسهم عن ذيلها في الصورة؟ يمكن أن نخمنها بمقدار حوالي 0.9 متر (3 أقدام). كم مترًا في الاتجاه Y يبعد الرأس عن الذيل؟ يمكن أن نخمنها بمقدار 1.2- متر (‎-4 أقدام). كم مترًا في الاتجاه Z يبعد الرأس من الذيل؟ يمكن أن نخمنها بمقدار 0.9- متر (‎-3 أقدام). إذًا، الشعاع الذي يعطي شدة واتجاه ضوء الشمس في الصورة هو: تمثل المصفوفة العمودية السابقة الشعاع باستخدام إطار الإحداثيات الذي اخترناه، ولكنها ليست الشعاع نفسه. إذا اخترنا إطارًا إحداثيًا مختلفًا، فسيكون الشعاع في المشهد الحقيقي هو نفسه، ولكن سيتغير تمثيله باستخدام الإطار الجديد، وسنواصل في المقال التالي هذه المناقشة. مراجعة سريعة: للنقطة خاصية واحدة فقط هي: الموقع. للشعاع خاصيتان، هما: الطول والاتجاه ولكن ليس له موقع. ترجمة -وبتصرُّف- للفصل Points and Lines من كتاب Vector Math for 3D Computer Graphics لصاحبه Bradley Kjell. اقرأ أيضًا تعرف على أشهر برامج وتطبيقات تصميم الصور والرسوميات قواعد تصميم الرسوم البيانية قواعد التعامل مع الصور والرسوميات