هل من الممكن المزج بين الطريقتين with و addSelect في Laravel

أحاول القيام بالتالي في مكون Livewire:

$alertes = Alerte::with(['salarie', 'formation'])
    ->join('formations', 'formations.id', '=', 'alertes.formation_id')
    ->addSelect(DB::raw('date_add(formations.date_fin, interval formations.duree_validite month) as date_recyclage'))
    ->where('formations.entreprise_id', $this->entreprise_id)
    ->when($this->traitee, function ($query) {
        $query->where('traitee', $this->traitee);
    })
    ->orderByRaw($this->critere_tri, $this->asc ? 'asc' : 'desc')
    ->paginate($this->nombre_par_page);

ولكن عندما أحاول عرض :

$alerte->formation->intitule

فإنها لا تعمل:

intitule not found

لقد ألقيت نظرة على نتيجة الاستعلام مع dd. لدي حقل واحد فقط: date_recyclage.

لماذا لدي حقل واحد فقط في حين أن بداية الاستعلام الخاص بي يجب أن يعيد السجلات مع salarie  و formation . ما الخطأ في الكود الخاص بي؟